Основные свойства матриц

1. A + В = В + А; (коммутативность сложения

2. А + (В + С) = (А + В) + С; (ассоциативность сложения)

3. k(АВ) = (kАВ); (ассоциативность умножения на число)

4. А(ВС) = (АВ)С; (ассоциативность умножения)

5. k(A + B) = kA + kB; (дистрибутивность умножения на число)

6. (A + B)C = AC + BC.(дистрибутивность умножения матриц)

7. А–А=(сумма противоположных матриц) 8. AE_n = A и 0A =(умножение на единичную матрицу и на 0)

Пример 7. Покажите, что,где,.

В результате выполненных действий получены различные матрицы.

Пример 8. Выполнить умножение матриц:

Каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, обозначаемое |A| или det(A), и называемое определителем (или детерминантом) матрицы A. Определение этого числа зависит от размера этой матрицы.

Определение 5. Определитель 1-го порядка матрицы размера 1х1 есть единственный элемент a этой матрицы:

|(a)| = a

|(a)| = a

Пример 9. |(5)| = 5.

Определитель 2-го порядка матрицы размера 2х2 определя-

ется следующим образом:

Определение 6. Определитель 3-го порядка матрицы 33 вычисляется по формуле:

Здесь каждое слагаемое является произведением трех элементов матрицы, составленное так, что в него входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. При этом рассматриваются всевозможные такие произведения элементов, а знаки слагаемых зависят от чётности или нечётности перестановок, образуемых индексами входящих в них множителей. Понятие перестановки в данном пособии не рассматривается, поэтому эту формулу нужно просто запомнить. Следующая схема вычисления определителя 3-го порядка облегчает запоминание этой формулы.

+ а₁₁ а₁₂ а₁₃ 

+ а₂₁ а₂₂ а₂₃ 

+ а₃₁ а₃₂ а₃₃ 

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃

К данному определителю снизу приписывают по порядку две первые строки. Затем, слагают произведения трех чисел, стоящих на главных диагоналях(слева-направо-вниз), и вычитают произведения трех чисел, стоящих напобочных диагоналях (справа-налево-вниз).

а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₂₁ а₃₂ а₁₃ + а₃₁ а₁₂ а₂₃ а₁₃ а₂₂ а₃₁  а₂₃ а₃₂ а₁₁  а₃₃ а₁₂ а₂₁.

Такая схема вычисления верна только для определителей 3-го порядка.

Пример 11. Вычислить определители : 1).; 2)..

Определители 4-го и более высокого порядка вычисляются с помощью теоремы Лапласа. Для формулировки этой теорема вводятся следующие понятия.

Определение 7. Минором элемента a_ij квадратной матрицы А называется определитель матрицы, получаемой из А вычеркиванием i-й строки и j-го

столбца, обозначение:

.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется следующее число:

А_ij= (1)^i+j∙

Пример 12. Вычислить алгебраические дополнения элементов второй строки следующей матрицы:

Решение:

Ответ:А₂₁ = 6,А₂₂ =12,А₂₃ = 6.

Следующая теорема дает метод вычисления определителей 4-го и более высоких порядков.

Теорема Лапласа.1). Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы:

a_i1 A_i1+a_i2 A_i2+ ... +a_inA_in =A;

a_1j A_1j+a_2j A_2j+ ... +a_nj A_nj =A.

2). Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (или другого столбца) равна нулю:

a_i1 A_j1 + a_i2 A_j2 + ... +a_inA_jn = 0;

a_1i A_1j + a_2i A_2j + ... + a_ij A_nj = 0.

(Доказательство см. [1. с. 159]).

Первые две формулы называются разложением определителя по i-й строке и по j-му столбцу, соответственно. Формулы второй части этой теоремы носят вспомогательный характер.

Пример 13. Вычислить определитель:

Решение. 1). Вычисление производится с помощью разложения по второй строке, и используются вычисления из примера 12.