Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
EUMKD_adocx.docx
Скачиваний:
124
Добавлен:
18.03.2016
Размер:
3.96 Mб
Скачать

Основные свойства матриц

1. A + В = В + А; (коммутативность сложения

2. А + (В + С) = (А + В) + С; (ассоциативность сложения)

3. k(АВ) = (kАВ); (ассоциативность умножения на число)

4. А(ВС) = (АВ)С; (ассоциативность умножения)

5. k(A + B) = kA + kB; (дистрибутивность умножения на число)

6. (A + B)C = AC + BC.(дистрибутивность умножения матриц)

7. АА=(сумма противоположных матриц) 8. AEn = A и 0A =(умножение на единичную матрицу и на 0)

Пример 7. Покажите, что,где,.

В результате выполненных действий получены различные матрицы.

Пример 8. Выполнить умножение матриц:

Каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, обозначаемое |A| или det(A), и называемое определителем (или детерминантом) матрицы A. Определение этого числа зависит от размера этой матрицы.

Определение 5. Определитель 1-го порядка матрицы размера 1х1 есть единственный элемент a этой матрицы:

|(a)| = a

|(a)| = a

Пример 9. |(5)| = 5.

Определитель 2-го порядка матрицы размера 2х2 определя-

ется следующим образом:

Определение 6. Определитель 3-го порядка матрицы 33 вычисляется по формуле:

Здесь каждое слагаемое является произведением трех элементов матрицы, составленное так, что в него входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. При этом рассматриваются всевозможные такие произведения элементов, а знаки слагаемых зависят от чётности или нечётности перестановок, образуемых индексами входящих в них множителей. Понятие перестановки в данном пособии не рассматривается, поэтому эту формулу нужно просто запомнить. Следующая схема вычисления определителя 3-го порядка облегчает запоминание этой формулы.

+ а11 а12 а13

+ а21 а22 а23

+ а31 а32 а33

а11 а12 а13

а21 а22 а23

К данному определителю снизу приписывают по порядку две первые строки. Затем, слагают произведения трех чисел, стоящих на главных диагоналях(слева-направо-вниз), и вычитают произведения трех чисел, стоящих напобочных диагоналях (справа-налево-вниз).

а11 а22 а33 + а21 а32 а13 + а31 а12 а23 а13 а22 а31 а23 а32 а11 а33 а12 а21.

Такая схема вычисления верна только для определителей 3-го порядка.

Пример 11. Вычислить определители : 1).; 2)..

Определители 4-го и более высокого порядка вычисляются с помощью теоремы Лапласа. Для формулировки этой теорема вводятся следующие понятия.

Определение 7. Минором элемента aij квадратной матрицы А называется определитель матрицы, получаемой из А вычеркиванием i-й строки и j-го

столбца, обозначение:

.

Алгебраическим дополнением элемента aij называется следующее число:

Аij= (1)i+j

Пример 12. Вычислить алгебраические дополнения элементов второй строки следующей матрицы:

Решение:

Ответ:А21 = 6,А22 =12,А23 = 6.

Следующая теорема дает метод вычисления определителей 4-го и более высоких порядков.

Теорема Лапласа.1). Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы:

ai1 Ai1+ai2 Ai2+ ... +ainAin =A;

a1j A1j+a2j A2j+ ... +anj Anj =A.

2). Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (или другого столбца) равна нулю:

ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + ... +ainAjn = 0;

a1i A1j + a2i A2j + ... + aij Anj = 0.

(Доказательство см. [1. с. 159]).

Первые две формулы называются разложением определителя по i-й строке и по j-му столбцу, соответственно. Формулы второй части этой теоремы носят вспомогательный характер.

Пример 13. Вычислить определитель:

Решение. 1). Вычисление производится с помощью разложения по второй строке, и используются вычисления из примера 12.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]