§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Рассматривается дифференциальные уравнения, разрешенное относительно производной:

, (3)

где функция f(x, y) определена и непрерывна в некоторой области S. Пусть функция y = (x) является решением этого уравнения в интервале (a, b). Значение функции f(x, y) в точке M(x,y) является значением производной , которое в свою очередь равно тангенсу угла, являющегося углом наклона касательной к интегральной кривойy = (x) в точке M:

= f(x, y) (4)

Равенство (4) определяет в каждой точке M(x,y) области S направление касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Эти направления можно изобразить в виде единичных векторов, тогда множество таких векторов образует так называемое поле направлений, и геометрически интегирование уравнения (3) состоит в нахождении кривых, касающихся соответствующих векторов в каждой точке.

Пример 1. Рассматривается уравнение: = x. Поэтому =x. Строится следующая таблица 1.

x	-2	-1	0	1	2
	-630	-450	00	450	630

При х = 1 угол = 45⁰, тогда на вертикальной прямой x = 1 строят векторы под углом 45⁰ к оси ОX. Аналогично на прямых х = -1, x= 2, x = -2 строятся векторы под углом = 135⁰, = 63⁰, = 117⁰, cоответственно, и т д. В полученном поле направлении легко угадывается, что интегральными кривыми данного дифференциального уравнения являются параболы, изображенные на рис. 2.

y

x

-2 -1 0 1 2

Рис. 2.

Начальными условиями дифференциального уравнения (3) называются два числа (, которым должно удовлетворять решение этого уравнения. т.е. должно выполняться равенство: = (.

Задача Коши. Для данных начальных условий ( найти решение дифференциального уравнения (3), удовлетворяющее этим условиям.

Геометрически задача Коши состоит в нахождении интегральной кривой уравнения (3), проходящей через точку

Теорема о существовании решения задачи Коши

Пусть В – плоская область, в которой правая часть

f(x, y) и ее частная производнаянепрерывны. Тогда для любой точкиизВ существует и притом единственное решение уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям .

Определение 3. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = (x, ). вида (2), содержащая одну константу , которая при любых значенияхявляется решением данного уравнения и для любой точкииз указанного множестваВ найдется значение константы , при котором она удовлетворяет начальным условиям. Частным решением называется любое решение, получанмое из общего решения при фиксированном значении . Но возможны решения дифференциального уравнения, которые нельзя получить из общего решения указанным способом, такие решения называются особыми.

Пример 3. Уравнение y=можно записать в виде:

.

Отсюда получается общий интеграл: =C- x. Этот интеграл определяет семейство полуокружностей радиуса a с центром в точках (c,0) для каждого с. Через каждую точку полосы -с < y < c проходит единственная полуокружность, но данное уравнение имеет два особых решения: y = а и y = -а. Это прямые линии касающиеся указанные полуокружности.