5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Интегралы

используют формулы преобразования произведения в сумму (см. часть 1 глава 5 §1).

Пример 9.

= -

Интегралы используют формулы понижения степени, ( часть 1 глава 5 §1).

Пример 10.

б).

в).

Интегралы вида используют заменыsinmx = t, cosmx = t, соответственно.

Пример 11.

б).

§3. Определенный интеграл

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a;b]. Этот отрезок разбивают наn частей (x_i-1; x_i),i = 1, …,n, точками:а =х₀<x₁<x₂< … <x_n =b, и пустьx₁,x₂, …,x_n - длины отрезков разбиения. Из каждого такого отрезка выбирается произвольная точка_i, вычисляется значениеf(_i), и составляется сумма

S₁ =f(₁)x₁ +f(₂)x₂ + … + f(_n)x_n. (5)

Эта сумма называется интегральной суммой для f(x)на[a;b].

Затем, отрезки (x_i-1; x_i) разбивают на более мелкие части, из них выбираются новые точки и составляют новую интегральную суммуS₂ вида (6). Этот процесс разбиения отрезка [a;b] и составление соответствующих интегральных сумм продолжается бесконечно. В результате возникает бесконечная последовательность интегральных сумм:S₁, S₂, S₃, … .

Определение 3. Определенным интегралом от функции f(x) в пределах от а до b называется предел указанных выше интегральных сумм, когда отрезок [a;b] бесконечно измельчается, если этот предел существует и не зависит от способов разбиения и выбора точек.Обозначение:

(6)

Числа a,bназываютсяпределами интегрирования.

Построение интегральной суммы иллюстрируется на рис.1.

yy = f(x)f(_n) В

f (₂)

f(₁)

А…

x

0 a₁x₁ ₂ x_{2 . . .} x_n-1 _n b

Рис. 1.

Че­рез точки деления а,x_, x₂, …,x_n, bпроведены отрезки, параллельные оси ОY, и образованы прямо­угольники с основаниямии высо­тамиf(₁),f(₂), …, f(_n). Тогда площади этих прямо­угольников равныf(₁)x₁,f(₂)x₂ , …, f(_n)x_n, соответственно, и их суммаf(_i)x_iявляется приближенным значением площади всей кри­волинейной трапецииаАВb.

Если производить более мелкие разбиения [a;b], то соответствующие суммыf(_i)x_i будут приближаться к истинному значению площади аАВb.Поэтомуплощадью криволинейной трапеции аАВb назван предел указанных суммf(_i)x_i, когда отрезок [a;b] бесконечно измельчается.

С другой стороны, эти суммы являются интегральными суммами для функции f(x)на[a;b]. Вывод:

определенный интеграл положительной функции y = f(x) по отрезку [a; b] равен площади криволинейной трапеции аAВb.

Свойства определенного интеграла

Здесь подразумевается, что интегралы, указанные в правых частях пунктов 2 - 5, существуют; и в пункте 7 неравенство функций рассматрива­ется на [a;b].

Теорема 2.Пусть f(x)непрерывна на [a;b].Тогда она имеет первообразную F(x)на [a;b]и верна формула:

(7)

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Она означает, что определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значе­ний первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирова­ния.Эта разность обозначается:

Примеры 9.Вычислить определенные интегралы.

Важное место среди свойств занимает следующее утверждение

Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то между a и b найдется число с такое, что выполняется равенство:

Величина f(c) называетсясредним значением функцииf(x)на[a;b].

Пример 10.Определить среднее значение функции у =х² на[1; 3].

Решение.Здесьf(x) =x² . Вычисляют интеграл:

Теперь, по теореме о среднем, получают:

Вывод: среднее значение приближенно равно 4,67 прих2,16.

Из теоремы 2 следует, что для непрерывных функций методы интег­риро­вания для неопределенного интеграла можно применять и для опреде­ленного интеграла со следующими дополнениями.

В методе интегрирования подстановкойформула (3) принимает вид:

(8)

В методе интегрирования по частямформула (4) принимает вид:

(9)

Примеры 11.Вычислить определенный интегра