
- •В.А.Ганов учебно-методический комплекс
- •280700.62 «Техносферная безопасность»
- •Оглавление
- •Пояснительная записка
- •1). Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •2). Общие пояснения
- •2.Основные требования государственного образовательного стандарта
- •3.2. Содержание учебной дисциплины
- •4. Разделы учебной дисциплины, виды учебной деятельности и формы контроля
- •5. Самостоятельная работа студента
- •5.1. График самостоятельной работы студента
- •6. Оценочные средства для контроля успеваемости ирезультатов освоения учебной дисциплины
- •7.Литература
- •2.5.1. Основная литература
- •7. Материально-техническое обеспечение учебной дисциплины
- •2.6.1. Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий:
- •7.2. Требования к оборудованию рабочих мест преподавателя и обучающихся:
- •8.Тематический план (распределение часов курса по темам и видам работ):
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •3 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •1 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •2 Семестр
- •7. Учебно-методическая (технологическая) карта дисциплины.
- •3 Семестр
- •10.Контрольные задания и тесты
- •Вариант 2.
- •13.Какой из следующих определителей не равен нулю?
- •Вариант 2
- •Вариант 19
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 27
- •Утверждаю: Зав. Кафедрой_________________
- •11.1. Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»,
- •8.1.2.Экзаменационные билеты по высшей математике
- •11.2.Экзаменационные вопросы
- •11.2.Экзаменационные билеты (2-й семестр)
- •8.3.1.Экзаменационные вопросы
- •8.3.2.Экзаменационные билеты по высшей математике 3-й семестр
- •Учебные пособия
- •Оглавление
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •§1. Числовые матрицы и определители
- •Основные свойства матриц
- •Основные свойства определителей
- •§2. Обратная матрица
- •§3. Системы линейных уравнений
- •2) Если определитель а равен нулю и хотя бы один из I отличен от нуля, то система (5) не имеет решений;
- •3) Если определитель а и все вспомогательные определители I равны нулю, то система (5) имеет бесконечное множество решений.
- •1) Если в (7) нет противоречий и число уравнений равно числу неизвестных, то система (3) имеет единственное решение;
- •2) Если (7) содержит противоречие, то система (3) не имеет решений;
- •3) Если в (7) нет противоречий, но число уравнений меньше числа неизвестных, то система (3) имеет бесконечное множество решений.
- •§4. Ранг матрицы и неопределенные системы
- •Упражнения 1
- •Глава 2. Аналитическая геометрия
- •§1. Декартова система координат
- •§2. Уравнение прямой линии на плоскости
- •§3. Кривые линий второго порядка
- •§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве
- •2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •§6. Векторное и смешанное произведения
- •Свойства векторного произведения
- •§7. Плоскость и прямая линия в пространстве
- •2).Условие параллельности плоскостей:
- •Основное правило 1.
- •2).Условие параллельности прямых:
- •Основное правило 2.
- •Упражнения 2
- •Глава 3. Поверхности второго порядка
- •§1.Сферические, цилиндрические и конические поверхности
- •Частные случаи.
- •§2.Стандартные поверхности 2-го порядка
- •§3. Поверхности вращения
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Комплексные числа
- •§1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения 4
- •Глава 5. Разложение рациональных дробей
- •Правило разложения правильной вещественной дроби на простейшие дроби.
- •Глава 6. Введение в математический анализ
- •§1. Числовые функции
- •§2. Простейшие функции
- •Основные свойства степеней
- •Основные свойства логарифмов
- •6. Тригонометрические функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •§3. Бесконечные величины и предел функции
- •Свойства пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
- •3) F(X) принимает на [a; b] все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями.
- •Упражнения 4
- •Упражнения 5
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Глава 1. Дифференциальное исчисление………………………………………………….5
- •§1. Производная функции одной переменной
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функци
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Вогнутость и точки перегиба
- •Определение 6.Точки, в которых график функции меняет направление вогнутости называютсяточками перегиба.
- •Упражнения 1
- •Ответы к упражнениям 1
- •Глава 2. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Правила интегрирования
- •Основные свойства неопределенных интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •3.Интегрирования по частям. Пусть u и V - дифференцируемые функции от х, тогда верно равенство
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •§3. Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •§4.Приложения определенных интегралов
- •1.Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения 2
- •Ответы к упражнениям 2
- •Глава 3. Функции нескольких переменных
- •§1. Евклидово n-мерное пространство
- •§2. Экстремумы функций двух переменных
- •§3. Метод наименьших квадратов
- •Упражнения 3
- •Глава 4. Функции комплексного переменного
- •§1. Определение и геометрическое и изображение
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •§2. Элементарные функции комплексного переменного
- •§3. Дифференцирование
- •Другие свойства
- •Геометрический смысл производной
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения
- •§1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Теорема о существовании решения задачи Коши
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений
- •§2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Теорема существования решения задачи Коши
- •Методы понижения порядка.
- •§3. Линейные уравнения 2-го порядка
- •§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Упражнения 5
- •Глава 8.Элементы теории вероятностей
- •§1.Определение вероятности и ее свойства
- •Свойства вероятности
- •§2. Повторные независимые испытания
- •§3. Случайные величины
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные свойства плотности распределения f(X)
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Основные виды распределений
- •§4. Закон больших чисел
- •Приложение 1.Элементы комбинаторики Основные правила комбинаторики
- •Простейшие соединения
- •Упражнения 7
- •Упражнение 8
- •Библиографический список
- •Приложение 2. Математико-статистические таблицы
- •Глава 8. Введение в математическую статистику
- •§1. Выборочный метод
- •Основные виды распределений
- •Упражнение 8
Первый замечательный предел
Такое название получил следующий предел:
Доказательство.
Сначала рассматривается случай
.
Тогда выполняется неравенство:
.
Действительно, на следующем чертеже
изображены дуга
окружности радиусомR,
хорда АВ
и отрезок АС
касательной к окружности в точке А.
В
С
R Rtgx
О x R А
Рис.10.
Из построения следует, что площадь треугольника АОВ меньше площади сектора АОВ, которая в свою очередь меньше площади треугольника АОС.
Пусть х обозначает меру угла АОВ в радианах, тогда:
1)
площадь треугольника АОВ
равна
;
2)
площадь сектора АОВ равна
;
3)
площадь треугольника АОС
равна
.
Поэтому
имеет место соотношение:
.
После сокращения на
,
получается доказываемое неравенство:
.
Из этого неравенства следуют неравенства
и
.
Из последнего неравенства получают соотношение:
.
Отсюда
следует, что
прих
+0, т. е.
.
Если
x
< 0, то в
силу нечетности sinx,
выполняется равенство:
=
,
где –х >
0. Тогда, по доказанному,
.
Таким образом,
при
х
+0 и х
0,
поэтому рассматриваемый предел доказан.
Пример 10. Вычислить пределы.
1).
.
Делается замена: 6х
= ,
тогда 3х =
и
0 при х
0. Теперь данный предел равен:
.
2).
.
Применяется тригонометрическая формула
из §2:
,
тогда исходный предел равен
=
2.
3).
Применяется замена:
,
отсюда, согласно указанным в §2 тождествам,
.
В силу непрерывности функцииarcsin3x
(см. §4),
0 при х
0. Тогда исходный предел равен
.
Второй замечательный предел
Рассматривается
следующая последовательность чисел:
Доказывается, что члены этой последовательности возрастают и содержатся в промежутке [2; 3), т.е. ограничены. По cвойству пределов 8, эта последовательность имеет предел, он называется второй замечательны предел и обозначается буквой е и приближенно равен 2,72:
Как уже было сказано выше, число е служит основанием функции экспоненты: exp(x) = ex, и основанием натуральных логарифмов: ln(x) = loge(x).
Указанный
предел используется для раскрытия
неопределенностей вида {1}.
Часто используются также следующие
вспомогательные пределы:
Пример
11. Раскрытие
неопределенности вида {1}
.
Теперь исходный предел равен: §4. Непрерывные функции
Определение
9. Функция у
= f(x)
называется непрерывной
в точке хо,
если она определена в некоторой
окрестности хо
и выполняется равенство:
Это определение содержит следующие условия непрерывности:
1).f(x) должна быть определена в некотором интервале, содержащем хо;
2).должны существовать конечные пределы (слева и справа):
3).эти
пределы слева и справа должны быть
одинаковыми;
4).пределы слева и справа должны равняться f(x0).
Определение 10. Точка x0 является точкой разрыва функции f(x), если в точке x0 не соблюдено хотя бы одно из условий непрерывности 1) 4).
Различают следующие виды точек разрыва:
Точка x0 является точкой разрыва I-го рода функции f(x), если существуют конечные пределы слева и справа, но эти пределы различные или отличаются от f(x0). Точка x0 является точкой разрыва II-го рода функции f(x), если хотя бы один из пределов справа или слева (равен .
Пример 12. Анализ точек разрыва функций.
точка
х
= 3 является точкой разрыва I-го
рода, ибо существуют конечные
пределы
слева и спраяа, но они различные.
Свойства непрерывных функций
1). Степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции непрерывны при всяком x0 , при котором они определены.
2). Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то их сумма, разность, произведение и отношение непрерывны в точке x0.
3).
Если функции
f(x)
и
g(x)
непрерывны
в точке x0,
и g(x0)
0, то отношение
непрерывно в точке
x0.
4). Пусть функция у = g(x) непрерывна в точке x0 и функция f(y) непрерывна в точке y0 = g(x0), тогда суперпозиция (fg)(x) = f(g(x)) непрерывна в точке x0.
Теорема 1. Каждая элементарная функция непрерывна во всех точках, в которых она определена.
Определение 11. Функция f(x) называется непрерывной на сегменте
[a;
b],
если она непрерывна в каждой точке
внутри сегмента, а на его концах
выполняются соотношения:
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a; b], то:
f(x) ограничена на [a; b].
f(x) достигает на [a; b] свои наибольшее и наименьшее значения;