Основные свойства логарифмов

1). Основное логарифмическое тождество:

2). Логарифм от 1 равен нулю:

3). Логарифм от основания равен единице:

4). Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

5). Логарифм дроби равен разности логарифмов:

6). При логарифмировании степени логарифм умножается на ее показатель:

7). При логарифмировании корня логарифм делится на показатель корня:

5. Логарифмической функцией называется функция вида у= log_ax, которая каждому значению х ставит в соответствие логарифм по основанию а от х. Основание а является положительным и не равно единице.

Областью определения логарифмической функции log_ax является проме­жуток (0; + ); она неограниченная и может принимать любые значения от  до +. При а > 1 функция log_ax возрастает от  до + (в этом случае пишут: log_a0 =  и log_a(+ = +. При а < 1 функция log_ax, убывает от + до  (т.е. log_a0 = + и log_a(+ = ). При основании а = е  2,72 логарифмы log_еx называются натуральными и обозначаются lnx . График у = ln x пересекает ось Ох под углом 45^о.

у

Таблица значений

3

x y₁ y₂

0,25 -2 2

0,5 -1 1

1 0 0

2 1 -1

4 2 -2

8 3 -3

2 y₁ = log₂x

1

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1

-2 y₂ = log_0,5x

-3

Рис. 3.

6. Тригонометрические функции.

1) синусом угла  называется ордината точки М, обозначение: sin ;

2) косинусом угла  называется абсцисса точки М, обозначение: cos;

3)тангенсом называется  если сos  0, обозначение: tg.

4) котангенсом  называется  если sin  0, обозначение: ctg.

Y

M(cos; sin)

 0 X

2

Рис. 4.

Из пунктов 1), 2) данного определения следует, что значения функций sin и cos заключены в промежутке [1; 1]. Кроме того, эти значения повторяются, когда точка М делает полный оборот по окружности, т.е. sin(+ sinи сos( сos. При  = 0⁰ точка М занимает крайнее правое положение, и ее координаты равны (1; 0), поэтому сos0⁰ 1 и sin 0⁰= 0. При этом tg 0⁰ = = 0, но значениесtg0⁰ не определено. При  = 90⁰ М занимает верхнее положение, и ее координаты равны (0; 1), поэтому сos 90⁰ 0 и sin 90⁰= 1. При этом сtg 90⁰ = =0, но значениеtg90⁰ не определено. Аналогично находятся значения данных функций в других точках. В следующей таблице приведены основные значения этих функций.

Между собой данные функции связаны следующими равенствами, которые называются основными тригонометрическими тождествами:

sin²+ сos² 1; 1+ tg²=; 1+сtg² tg=; ctg=

 	900	600	450	300	00	300	450	600	900	1200	1350	1500	1800
													 
sin	1				0				1				0
cos	0				1				0				 1
tg					0		1				1		0
ctg	0		1				1		0		1		

Следующие формулы часто используются для преобразования сложных тригонометрических выражений.

Формулы приведения:

Формулы понижения степени:

сos²sin²

sinсos; cos² sin²cos2

Формулы преобразования произведения в сумму:

sinсos

cosсos

sinsin.

Теперь определяются числовые тригонометрические функции

6.Функцией y = sinx называется отображение, при котором каждому

значению х ставится в соответствие синус угла в х радиан. Областью определения этой функции является (; ), область значений [1; 1]. Как было отмечено выше, sinx – периодическая функция с наименьшим положительным периодом 2Ее график имеет следующий вид.

y

₁

_. x

^1

Рис. 5.

7.Функцией y = cosx называется отображение, при котором каждому значению х ставится в соответствие косинус угла в х радиан. Областью определения этой функции является (; ), область значений [1; 1]. Как было отмечено выше, сosx – периодическая функция с наименьшим положительным периодом 2Ее график имеет следующий вид.

y

₁

_. x

^1

Рис. 6.

8.Функцией y = tgx называется отображение, при котором каждому значению х ставится в соответствие тангенс угла в х радиан. Областью определения этой функции являются интервалы вида ,kZ. Область значений (; ). Функция tgx также периодическая и ее наименьший положительный период равен :  tg(x+) = tgx.Ее график изображен на рис.7.

у

_. x

Рис. 7.