§5. Скалярное произведение векторов

Определение 17. Скалярным произведением двух векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними,

обозначение:

Геометрический смысл: скалярное произведение векторов равно произведению алгебраической проекции одного вектора на модуль второго вектора:

Физический смысл: пусть точка М движется вдоль вектораа под действием силы, описываемой векторомb , тогда аb есть работа, совершаемая при этом движении.

Свойства скалярного произведения

1.  =.(коммутативность)

2.  ( + ) = +. (дистрибутивность)

3. Постоянный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

(k ) = k ().

4. Вектор с самим собой образует угол 0^о, поэтому скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: =||||, и модуль вектора ра-

вен корню квадратному из его скалярного квадрата: | | = .

5. Косинус угла 90^о равен 0, поэтому ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0:

= 0. (условие перпендикулярности)

6. Еслиi, j, k - орты координатных осей, то верны равенства:

i j = 0, i k = 0, j k = 0,i i = 1,j j = 1, k k = 1.

7. С помощью свойств 2, 3, 6 и формулы (20), доказывается следующая формула для вычисления скалярного произведения через координаты векторов:

=а_хb_x + а_yb_y + a_z b_z.

8. Непосредственно из определения скалярного произведения получается формула для вычисления угла между векторами:

Пример 19. Определить угол  между а = 2i + 2j k и b = j  k.

Решение. Применяют свойство 8. Здесь а ={2; 2; 1},b = {0; 1; 1},

Тогда  =20 + 21 + 11 = 3, = 3,=2. Получают cos = , следовательно, ^o.

Пример 20. Найти углы треугольника с вершинами А(3; 1; 2), В(1; 1; 1),

С(5; 0; 0).

Решение. Для вычисления А находят векторы = {2; 2; 1}, = {2; 1;2}. Теперь,  = = 22 + 21 + 12 = 0. Следовательно, cosA = 0 и А = 90^о.

Для вычисления В находят векторы и . Вектор противоположен вектору , поэтому =  = {2; 2; 1}. = {5  1; 0  1; 0  1} = {4; 1; 1}. Теперь, находят необходимые величины:  =

24 + 21  11 = 9. 32. Тогда Сумма углов треугольника равна 180^о, поэтому С ^o.

Ответ: А 90^o, B ^o, С ^o.

§6. Векторное и смешанное произведения

Определение 18. Векторным произведением вектора на вектор называется такой третий вектор, обозначаемый , который:

1) имеет модуль, равный произведению модулей этих векторов на синус угла между ними: |  =||∙| | sin;

2) перпендикулярен обоим векторам:  и ;

3) направлен в такую сторону, с которой кратчайшее вращение вектора в сторону cовершается против часовой стрелки.



Рис. 13.

Геометрический смысл: модуль векторного произведения | численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (см. рис.13).

Физический смысл: пусть в конце вектора приложена сила, изображаемая вектором , тогда есть момент этой силы относительно начала вектора .