§4. Декартовы координаты и векторы в пространстве

Определение 11. Декартова система координат в пространстве  это три занумерованные взаимно перпендикулярные числовые оси, с общим началом отсчета О. Первая ось обозначается ОХ и называется осью абсцисс, вторая ось ОY называется осью ординат, третья ось ОZ называется осью апликат. Декартовыми координатами точки М в пространстве называются координаты проекций этой точки на оси ОХ, ОY, ОZ. Обозначение: М(x; y; z).

Теорема 12. 1). Расстояние между двумя точками М₁(x₁; y₁; z₁) и М₂(x₂; y₂; z₂) находят по формуле:

2). Координаты точки деления отрезка в заданном отношении вычисляют по формулам:

Пусть рассматривают какой-то процесс и в нем наблюдают некоторые величины, которые могут подразделять на два вида: скалярные и векторные.

Определение 12. Скалярной величиной называется величина, которая измеряются одним числом. Например: длина, площадь, объем, вес, температура, работа, энергия, доход – скалярные величины.

Определение 13. Векторные величины измеряются числом и направлением. Например: сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля – векторные величины. Такие величины удобно задавать направленными отрезками, которые имеют длину и направление и изображаются стрелками. Эти направленные отрезки называются векторами. Они обозначаются буквами ,b, ,d c черточкой сверху или через , где первая буква обозначает начало вектора и вторая буква обозначает конец вектора. Длина вектораa или обозначается и называется такжемодулем вектора.

Два вектора ,называютсяравными, если они имеют одинаковые длины, параллельны и направлены в одну сторону, обозначение: =. В данном определении не участвуют точки приложения векторови, это означает, что вектор не зависит от своей точки приложения и его можно перемещать параллельно самому себе. В этом смысле рассматриваемые векторы называютсясвободными векторами. Вектор, длина которого равна 0, называется нуль-вектором и обозначается через 0, его направление произвольное.

Определение 14. Произведением вектора н число k называется вектор k , длина которого равна |k||| и, еслиk > 0, то его направление совпадает с направлением , а если k < 0, то его направление противоположно направлению , (см. рис. 8). Вектор (1) называется противоположным вектору и обозначается -. На рис.8 изображены: ,,.

D A B C

Рис.8.

Определение 15. Сложение двух и более векторов осуществляется по правилу многоугольника: первый вектор фиксируется, второй вектор параллельно самому себе перемещается в конец первого вектора, затем таким же образом третий вектор перемещается в конец второго вектора и т. д. После размещения всех векторов их суммой является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора и конец совпадает с концом последнего вектора (см. рис.9).

a₂

a₃

a₁

a₄

a₁ +a₂+a₃+a₄

Рис.9.

Операция сложения определяется также по правилу параллелограмма:

Пусть =,=- стороны параллелограммаABCD, тогда

+ =, при этом = .

B C

A

D

Рис.10.

Пример 16. На трех векторах(=, (=(,= построен параллелепипед. Указать те его векторы-диагонали, которые соответственно равны

+ –,–+(см. рис.11).

Решение. Для первой комбинации выбирают вершину А₁, в ней помещают вектор, , который равен. В вершинеB₁ пристраивают вектор , который в данном построении равен . Теперь, в вершине C₁ пристраивают вектор – , который равен. По правилу многоугольника, получилось, что+– = – искомый вектор-диагональ. Аналогично показывается, что комбинация - +равна=

D₁ N C₁

A₁

B₁

D C

K M

A B

Рис.11.

Пример 17. Пусть в примере 16 токи K, M, N являются серединами ребер ,BC,. Выразить векторы AN, NM, K через векторы ,,.

Решение. По рис.11 вектор равен сумме++=++;

= ++= ; =++= .

Геометрической проекцией точки А на числовую ось ОХ является основание А₁ перпендикуляра, опущенного из А на эту ось (обозначение: _ОХ А = А₁ . Точка А₁ имеет на оси ОХ некоторую координату х, эта координата называется алгебраической проекцией точки А на числовую ось ОХ, обозначение:

Пр_ОХ А = х.

Геометрической проекцией вектора на числовую ось ОХ является вектор , гдеА₁ = _ОХ А и В₁ = _ОХ В, обозначение: _ОХ= .

Алгебраической проекцией вектора на числовую ось ОХ называется число (х₂ – х₁), где х₁ = Пр_ОХ А и х₂ = Пр_ОХ В, обозначение: Пр_ОХ = (х₂ – х₁).

Ортом оси ОХ называется вектор , имеющий длину 1 и направление, одинаковое с осьюОХ.

Лемма 1. Геометрическая проекция вектора на ОХ равна произведению орта оси ОХ на алгебраическую проекцию этого вектора на ОХ:

_ОХ = Пр_ОХ 

Доказательство.Рассматривается случай, изображенный на рис.12.

y A

O B x

Рис. 12.

По определению геометрической проекции, _ОХ =. По определению, алгебраической проекции,Пр_ОХ = Пр_ОХ A - Пр_ОХ O = Пр_ОХ B - Пр_ОХ O = Пр_ОX . С другой стороны, по предыдущим определениям, Пр_ОХ ∙=.Следовательно, _ОХ == Пр_ОХ ∙= Пр_ОХ , что и требовалось доказать. Остальные случаи рассматриваются аналогично (см.[1. с.113]). С помощью этой леммы легко доказываются следующие свойства проекций векторов.

1). Геометрическая проекция суммы векторов равна сумме геометрических проекций векторов, входящих в эту сумму:

_ОХ(+ … +) = _ОХ + … + _ОХ .

2). Алгебраическая проекция суммы векторов равна сумме алгебраических проекций векторов, входящих в эту сумму:

Пр_ОХ(+ … +) = Пр_ОХ +… + Пр_ОХ .

3). Геометрическая проекция произведения вектора на число k равна произведению геометрической проекции этого вектора на число k :

_ОХ(k  ) = k∙_ОХ .

4). Алгебраическая проекция произведения вектора на число k равна произведению алгебраической проекции этого вектора на число k :

Пр_ОХ(k) = kПр_ОХ .

Определение 16. Пусть ОХYZ – декартова система координат в пространстве и – вектор.Координатами называются алгебраические проекции этого вектора на оси координат.

Используются следующие обозначения для координат вектора и самого вектора через его координаты:

а_х= Пр_ОХ ,а_у= Пр_ОY ,а_z= Пр_ОZ , ={а_х; а_y; а_z}.

Из определения алгебраической проекции следует, что если известны декартовы координаты начала А(х₁; у₁; z₁) и конца В(х₂; у₂; z₂) вектора =, то координаты этого вектора находятся по формулам:

а_х= х₂ – х₁, а_у= у₂ – у₁, а_z= z₂ – z₁, (18)

т. е. от координат конца вычитаются координаты начала.

Если М(х, у, z) точка пространства, то вектор называется радиусом-вектором этой точки. Согласно предыдущим формулам, координаты совпадают с координатами точкиМ : = {х; у; z}. Кроме того, в силу формулы (17), длина вектора ={а_х; а_y; а_z} равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

Из указанных выше свойств легко выводятся следующие правила вычисления линейных операций через координаты векторов.

1). При умножении вектора на число k его координаты умножаются на k:

k ={kа_х; ka_y; ka_z}.

2). При сложении векторов их координаты складываются:

+={а_х + b_x; а_y + b_y; а_z + b_z}.

Орты координатных осей OX, OY, OZ обозначаются через ,,,cоответственно. Эти векторы имеют следующие координаты:

i = {1; 0; 0}, j= {0; 1; 0},k= {0; 0; 1}.

Тогда, по лемме 1, произвольный вектор а ={а_х; а_y; а_z} выражается линейно через i, j, k следующим образом:

. (20)

Пример 18. Даны точки А(3; 2; 1) и В(6; 4; 3). Найти координаты и длину вектора и выразить его линейно через орты.

Решение. Применяют формулы (17)  (19).