§2. Уравнение прямой линии на плоскости

Определение 5. Уравнение называется линейным относительно х, у, если оно равносильными преобразованиями приводится к виду

(4)

ах + bу + с = 0

где а, b, с  некоторые числа, причем а и b одновременно не равны нулю.

Теорема 3. В декартовой системе координат ОХY всякое линейное относительно х, у уравнение является уравнением некоторой прямой линии на плоскости ОХY.

Уравнение (4) называется общим уравнением прямой.

1. Если а = 0, то уравнение (4) принимает вид bу + с = 0 и задает прямую, параллельную оси ОХ.

2. Если b = 0, то уравнение (4) принимает вид ах + с = 0 и задает прямую, параллельную оси ОY.

3. Если с = 0, то уравнение (4) принимает вид ах + bу = 0 и задает прямую, проходящую через начало координат О.

Например, х = 0  уравнение оси ОY, у = 0  уравнение оси ОХ.

Если b  0, то уравнение (4) приводят к виду

у = kх + d

(5)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом и началом.

Y

M

d

 X

0

Рис.4.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М_о(х_о; у_о), имеет вид

у = k(х  х_о) + у_о

(6)

Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂), имеет вид (7)

При решении задач на составление уравнений прямых линий используют указанные формулы (4) – (7).

Пример 5. Составить уравнение прямой, пересекающей ось OY в точке у = 2 и образующей с осью OX угол 45^о.

Решение. Применяют формулу (5). Здесь k = tg45^о =1 и d = 2, получают уравнение: y = x – 2.

Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

а) А(3; 4) и В(2; 6); б) С(5; 1) и D(4; 1).

Решение. a). Здесь х₁ = 3, у₁ = 4, х₂ = 2, у₂ = 6, эти значения подставляют в (7) и получают уравнение прямой АВ:

б). Здесьх₁ = 5,у₁ = 1,х₂ =4,у₂ = 1, эти значения подставляют в (7) и получают уравнение:

Знаменатель второй дроби равен 0, в этом случае числитель этой дроби приравнивают к 0 и пишут: y 1 = 0. Получилось уравнение вида (4) с коэффициентома= 0, т. е. прямаяСDпараллельна осиОX.Ответ:у– 1 = 0.

Пример 7. Найти угловые коэффициенты следующих прямых:

a)4х+ 2y– 5 = 0;б) 4x+ 2y+ 1 = 0.

Решение.а). Из данного уравнения4х+ 2y– 5 = 0 выделяется слагаемое сy: 2y= 4х+ 5, тогдаy= 2х+ 2,5. Теперь, по формуле (5),k= 2.

б). Из уравнения 4x+ 2y+ 1 = 0 выделяют слагаемое сy: 2y= –4х1, тогдаy = –2x –0,5. Получаютk= –2.

Теперь, рассматриваются основные задачи на прямую линию.

Пусть у =k₁х+d₁и у =k₂х+d₂уравнения прямых линийL₁иL₂. Если эти линии пересекаются, то они имеют общую точку. Эта точка лежит на обеих линиях, следовательно, ее координаты

должны удовлетворять обоим уравнениям. Поэтому координаты точки пересечения являются решением следующей системы уравнений:

у = k₁х + d₁,

у = k₂х + d₂.

Если эта система имеет решение (x₀, y₀), то прямые L₁ и L₂ пересекаются и x₀, y₀  координаты точки пересечения L₁ и L₂. Если система не имеет решения, то L₁ и L₂ не пересекаются.

Теорема 4. Прямые L₁ и L₂ параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты одинаковые. Символически это утверждение записывается формулой:

L₁  L₂  k₁ = k₂

. (8)

Равенство k₁ = k₂ называется условием параллельности прямых линий.

Теорема 5. Прямые L₁ и L₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно 1:

L₁  L₂  k₁ k₂ = 1.

(9)

Равенство k₁ k₂ = 1 называется условием перпендикулярности прямых линий.

Теорема 6. Расстояние от точки до прямой. Расстояние d от данной точки М₁(х₁; у₁) до прямой, заданной уравнением (4), вычисляется по формуле:

(10)

Пример 8. Составить уравнения прямых, проходящих через точку

М(3; 4) параллельно и перпендикулярно прямой: 2x + y = 1.

Решение. 1-я часть. Сначала применяют формулу (6). Здесь х₀ = 3, y₀ = 4, получается формула у = k(х  3) + 4. Для первой прямой, проходящей параллельно указанной прямой, угловой коэффициент k находят из условия (8). Это условие записывают в виде: k = k₁, где k₁  угловой коэффициент прямой 2x + y = 1. Как в примере 6, получается k₁ = 2. Тогда k = 2 и получают уравнение первой прямой: у = 2(х  3) + 4 или у = 2х + 10.

2-я часть. Для второй прямой, проходящей перпендикулярно указанной прямой, угловой коэффициент k находят из условия (9). Это условие записывают в виде: k k₁ = 1, где k₁  угловой коэффициент прямой 2x + y = 1. В первом случае было получено k₁ = 2, тогда k = (1):(2) = 0,5. Теперь получают уравнение второй прямой у = 0,5(х  3) + 4 или у = 0,5х + 2,5.

Ответ: у = 2х + 10, у = 0,5х + 2,5.

Пример 9. Для треугольника с вершинами А(3; 2), В(2; 5), С(6; 2) составить уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А и найти их длины.

Решение. 1-я часть. Медиана соединяет вершину А с серединой М противолежащей стороны ВС. Середину ВС находчт так же, как в примере 3.

Точка М имеет координаты (2; 1,5). Для точек А и М применяют формулу (7):  это уравнение медианы. Ее длина равна расстоянию между точками А и М, это расстояние находят по формуле (1).

2-я часть. Высота соединяет вершину А с основанием D перпендикуляра, опущенного из вершины на противолежащую сторону ВС или ее продолжение. Сначала составляют уравнение стороны ВС по формуле (7):

Высота BD проходит через точку А перпендикулярно ВС, ее уравнение находят также как во 2-части примера 7. Здесь k₁ = , тогда k = . Это значение и координатыА подставляют в уравнение (6), получают: - это уравнение высоты AD. Длина высоты равна расстоянию от точки А до прямой ВС. Для этого выбирается общее уравнение ВС: 7х+8у – 26 = 0 и применяют формула (10):

1,03.

Ответ: длина медианы  1,12; длина высоты  1,03.