Упражнения 1

1. Выполнить действия:

2. Вычислить (АВ)С, если:

3. Выполнить действия: 1) А + ВС; 2) А² 3С; 3) АВС3Е₃ если

4. Вычислить определители 2-го порядка:

5. Вычислить определители 3-го порядка:

6. Вычислить определители 4-го порядка:

Найти обратные матрицы:

8. Решить матричные уравнения:

1) 2)

3)

9. Следующие системы решить: а) по формулам Крамера;

б) методом Гаусса; в) матричным методом.

1) x₁ + 2x₂ 3x₃ = 10, 2) 3x₁ + x₂  x₃ = 3, 3) 7x₁ + 5x₂ x₃ =

2x₁ + x₂ 2x₃ = 20, x₁+ 5x₂ + 4x₃ = 8,  2x₁ + 3x₂ = 3,

 2x₁  x₂ = 40.  2x₂ + x₃ = 3. x₁  x₂ + x₃ = 1.



 x₁ x₂ x₃ =1 5) 0,5x₁ x₂ + 3x₃ = 1, 6) 3x₂ + x₃ = 6,

 7x₁  x₃ = 1, x₂  x₃ = 0, 5x₁ 2x₂ x ₃ = 4,

 x₁ 3x₂ + 5x₃= 5.3x₁ + 5x₂  6x₃ = 6. x₁ + x₂ + x₃ = 2.

10. Для следующих систем найти общее решение в параметрическом виде и одно частное решение:

1). х₁ + х₂ – 8х₃ + 9х₄ = 0, 2). 2x₁  x₂ + 3x₃ x₄ = 5,

2х₁  3х₂ + 4х₃  2х₄ = 0, x₂ + x₃  x₄ = 1,

 4х₁ + 11х₂ – 12х₃ + 16х₄ = 0, 2x₁ + 4x₃  2x₄= 6,

 7х_{1 } 2х₂ + 4х₃ + 3х₄ = 0. 2x₁  3x₂ + x₃ + x₄ = 3.

3) х₁ + 2х₂ + 3х₃ – 6х₄ = –2, 4) х_1  2х₂ + х₃ – х₄ + х₅ = –1,

х₁ + 2х₂ – х₃ х₄ = –3, 2х₁ + х₂ – х₃ + 2х₄  3х₅ = 1,

х₂ – х₃ + х₄ = -5, 3х₁ – 2х₂ – х₃ + х₄ – 2х₅ = 3,

2х₁ + 3х₂ – х₃ - 3х₄ = -1. 2х₁ – 5х₂ + х₃ – 2х₄ + 2х₅ = 1.

11. Найти ранг следующих матриц:

1) ; 2); 3).

Глава 2. Аналитическая геометрия

Основными понятиями аналитической геометрии являются простейшие геометрические образы (точки, прямые линии, плоскости, кривые линии и поверхности 2-го порядка). Основными средствами исследования служат метод координат и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в XVII в. Отчетливое и полное изложение этого метода и основ аналитической геометрии было сделано Р. Декартом в его «Геометрии» (1637 г.)

§1. Декартова система координат

Определение 1. Числовой осью называется прямая линия, на которой определены начало отсчета, масштаб и направление.

В А

3 2 1 О 1 2 3 4 5 Х

Рис.1.

Координатой точки на числовой оси называется расстояние от начала отсчета О до этой точки, взятое со знаком "+", если направление от О до точки совпадает с направлением оси, и - со знаком "", если направление до точки противоположное направлению оси. Например, на рис. 1 координаты точек А и В равны (+3) и (1) соответственно.

Определение 2. Декартова система координат на плоскости ОХY  это две перпендикулярные числовые оси, лежащие в плоскости, с общим началом отсчета О и занумерованные. Эти оси называются осями координат, при этом первая ось обозначается ОХ и называется осью абсцисс, вторая ось ОY называется осью ординат; точка О  начало координат. Декартовыми координатами точки на плоскости ОХY называются координаты проекций этой точки на оси ОХ и ОY. Первая координата называется абсциссой, вторая  ординатой.

Например, на рис.2 точки С, D, E, M имеют координаты (3; 2), (2; 3,5), (1; 3), (2; 2).

Теорема 1. Расстояние между точками A(х₁; у₁) и B(х₂; у₂) обозначается |AB| и вычисляется по формуле:

(1)

Пример 1. Найти расстояние между точками А(3; 14) и В(5; 8).

Решение. Применяют формула (1), здесь x₁ = 3 y₁ = 14, x₂ = 5, y₂ = 8. Тогда

Y

D 3

2 C

1

X

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

-2 M

E -3

Рис.2.

Определение 3. Говорят, что точка М делит отрезок АВ в отношении k, если выполняется условие

Теорема 2. Пусть точки А и В имеют координаты (х₁, у₁) и (х₂, у₂) соответственно, а точка М имеет координаты (х, у). Тогда координаты М вычисляют по формулам:

(2)

Эти формулы называются формулами деления отрезка в заданном отношении. В частности, если М – середина АВ, то ее координаты равны:

Формулы (2) распространяются и на случаи, когда k < 0, при этом точка М будет располагаться на продолжении отрезка АВ.

Пример 2. Найти точку М, делящую отрезок АВ в отношении k, если

а) точки А и В имеют координаты (3; 2), (3; 1) и k = 2;

б) точки А и В имеют координаты (3; 3), (1; 1) и k = 2.

Решение. Применяются формулы (2). а). Здесь x₁ = 3y₁ = 2, x₂ = 3, y₂ = 1, k = 2. Тогда х = (3 + 23):3 = 1; у = (2 + 21):3 = 0. Точка М имеет координаты (1; 0).

Y Y

A _{}

¹ B 3 o 1 5 X

^{3 0 1} X _1 B

M

A ^2

5 M

a) б)

Рис.3.

б). Здесь x₁ = 3y₁ = 3, x₂ = 1, y₂ = 1, k = 2. Тогда х = (3  21):(1) = 5; у = (3  2(1)):(1) = 5. Точка М имеет координаты (5; 5).

Пример 3. Определить середину отрезка АВ, если точки А и В имеют координаты (2; 5), (4; 3) соответственно.

Решение. Применяются формулы (3). Пусть М (х, у) – середина АВ, тогда х = (2 + 4):2 = 1; у = (5 + 3):2 = 4. Точка М имеет координаты (1; 4).

Произвольную линию на плоскости можно рассматривать как след движущейся точки. Такой точкой может быть остриё карандаша (кончик пера или острый край куска мела), с помощью которого эта линия рисуется на листе бумаги. В декартовой системе координат ОХY, эта точка обозначается через

М(x; y) и называется текущей точкой данной линии, а ее координаты x, y называются текущими координатами. Например, если точка М движется на плоскости, сохраняя неизменным расстояние R от некоторой неподвижной точки С(, то она описываетокружность радиуса R с центром в точке С. Если точка М переходит из одного своего положения в любое другое по кратчайшему пути, то она описывает прямую линию.

Пусть F(x, y) = 0 – уравнение от переменных х, у, и L  некоторая линия на плоскости ОХY. Говорят, что точка А с координатами (а; b) удовлетворяет уравнению F(x, y) = 0, если ее координаты а, b при подстановке в уравнение вместо x, y соответственно дают верное равенство: F(а, b) = 0.

Определение 4. Уравнение F(x, y) = 0 называется уравнением линии L на плоскости ОХY, если этому уравнению удовлетворяют все точки, принадлежащие L, и только они.

Символически это определение выражается формулой:

М(x; y)L  F(x, y) = 0.

Пример 4. +=- уравнениеокружности радиуса R с центром в точке С(.

В аналитической геометрии каждую линию отождествляют с ее уравнением, и изучение линии сводят к исследованию ее уравнения.