Основные свойства определителей

1. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.

2. Если в определителе поменять местами две строки (или два столбца), то он изменит только знак.

3. Если определитель содержит две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.

4. Если определитель содержит строчку (или столбец), состоящую из нулей, то он равен нулю.

5. Если элементы какой-либо строки (или столбца) определителя умножить на одно и то же число, то и определитель умножится на это число.

6. Если к элементам какой-либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

Доказательство (см. [1. с. 152]).

Пример 14. Вычислить определитель, применяя указанные свойства.

Решение. Сначала определитель преобразуется так, чтобы в 1-м столбце было два нуля. Для этого применяется свойство 6, согласно которому определитель не изменится в результате следующих преобразований. Элементы второй строки умножаются на (2) и прибавляются к соответствующим элементам первой строки; затем элементы второй строки умножаются на ( 4) и прибавляются к соответствующим элементам третьей строки. Получается равный определитель, к которому применяется разложение по 1-м столбцу.

§2. Обратная матрица

Определение 8. Пусть А  квадратная матрица вида nn, тогда обратной матрицей для А называется матрица (обозначение: А^1 которая при умножении А на А^1 слева и справа дает единичную матрицу Е_n:

АА^1 = А^1А = Е_n . (1)

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю; а если определитель матрицы не равен нулю, то она называется невырожденной.

Теорема 1. Невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу А^1, и верна формула

(2)

Стоящая здесь матрица составлена из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, - присоединенная матрица. (см. [1. с. 188]).

Решение. Указанными выше методами находится определитель= 2.

Так как   0, то  - невырожденная, и имеет обратную матрицу.

Для ее построения вычисляются алгебраические дополнения.

Они подставляются в формулу (2).

Замечание 1.Для матрицыА=размера 22 обратную матрицуА^1можно находить по формуле:А^1=, (см. ниже пример 16).

Пусть А,В– матрицы иХ– буква, тогда равенствоАХ =Вназываетсяматричным уравнением. ЕслиАимеет обратную матрицу А^1, то решение этого уравнения находится с помощью умножения слева обеих частей наА^1:А^1(АХ) =А^1В. Согласно свойствам матриц:А^1(АХ) = ( А^1А)Х =X=X. ПолучаетсяХ=А^1В- это матричное решение данного уравнения. Аналогично показывается, что если уравнение имеет видХА =В, то его матричное решение имеет вид:Х=ВА^1.

Пример 16.Решить матричные уравнения:

Решение. 1). В первом уравненииА=, тогда |A| = 23 51= 10. Согласно замечанию 1,А^1 =Следовательно, решение уравнения равно Х=А^1В=

2). Во втором уравнении А= , |A| =20,А^1 = =

Тогда Х=ВА^1=