Критерий устойчивости импульсных систем

Построим область устойчивости в плоскости комплексной величины z. Воспользуемся методикой D-разбиения и, меняя частоту w от - до +, получим границуz = e^Ts = e ^jwT - в виде окружности единичного радиуса, внутрь которой попадает левая полуплоскость комплексной величины s. Следовательно, для устойчивости, все корни-полюсы замкнутой системы Ф(z) должны находится внутри этой окружности.

Итак, для описанных с помощью аппарата Z-преобразования импульсных систем, всилу изменившегося вида области устойчивости и периодичности их ЧХ W(e ^jwT), разработанные для непрерывных систем критери устойчивости (кроме критерия Найквиста и корневого годографа), а так же наиболее эффективные методы коррекции и синтеза (использующие ЛАЧХ & ЛФЧХ) не приемлемы.

Для преодоления этого затруднения используют -преобразование, которое отражает окружность единичного радиуса на мнимую ось комплексной величины , с помощью подстановки:

.

Физически подстановка означает переход к ДУ заменой в РУ элементов чистого запаздывания грубой аппроксимацией - одним фазосдвигающим звеном.

Вторая формула для перехода в область псевдочастот  получена из соотношения:

,

отметим так же, что:

.

-Домен и домен псевдочастоты  используют редко, поскольку для большинства импульсных и цифровых систем частота дискретизации 1/T выбирается в 6...10 раз больше частоты среза. В таком случае выполняется условие _срT<2, вследствие чего в полосе системы псевдочастота  и частота  практически совпадают. Поэтому обходятся доменом обычных частот, а для переходов используют формулы "Билинейного преобразования":

.

Вопросы самоконтроля:

1. Как получить разностное уравнение в реальном масштабе времени из характеристического уравнения систем?

2. Дайте определение критерию устойчивости импульсных систем.

3. Перечислите порядок проведения Z-преобразований.

4. Каким образом перейти от Z-формы к псевдочастоте для дальнейшего исследования импульсной системы?

5. Перечислите порядок проведения билинейного преобразования?

Лекция 53

Цель лекции: изучение основных свойств дискретного преобразования Лапласа.

Задачи лекции:

1. Основные свойства дискретного преобразования Лапласа.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Математический аппарат свойств дискретного преобразования Лапласа.

Учебный материал Свойства дискретного преобразования Лапласа

1. Линейность.

;

2. (Преобразование Лапласа от запаздывающего аргумента). Смещение по времени.

а) Запаздывание на S тактов.

; где i=m-S.

При нулевых начальных условиях (ННУ):

;

;

б) Упреждение m+S=i; m=i-S;

; при не ННУ

При ННУ:

;

;

3. Преобразование Лапласа от конечных разностей.

Первая разность - ;

;

При ННУ: ;

Непрерывные системы-p;

Дискретные системы-;

Вторая разность-

;

При ННУ:

;

-к-ая разность-

;

4. Преобразование от суммы:

Найдем первую разность.

;

Возьмем преобразования Лапласа от правой и левой части выражения.

;

;

5. Теорема о предельном значении.

По аналогии с непрерывными системами:;

6. Сумма ординат решетчатой функции.

;

;

Вопросы самоконтроля:

1. Перечислите основные свойства дискретного преобразования Лапласа.

2. Назовите начальные нулевые условия, которые используются при проведении дискретного преобразования Лапласа.