Лекция 25

Цель лекции: изучить проведение Д-разбиения плоскости отдного комплексного числа.

Задачи лекции:

1. Рассмотреть порядок построения кривой Д-разбиения на плоскости коэффициентов системы.

2. Правило штриховки Неймарка.

3. Определение области устойчивости системы по границе Д-разбиений.

4. Рассмотреть порядок построения кривой Д-разбиений на плоскости двух параметров системы.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Порядок построения кривой Д-разбиения на плоскости коэффициентов системы;

2. Правило штриховки Неймарка;

3. Порядок определения области устойчивости системы по границе Д-разбиений;

4. Порядок построения кривой Д-разбиений на плоскости двух параметров системы.

Учебный материал

Д-разбиение плоскости одного комплексного числа

Если требуется выяснить одного параметра, а значения остальных параметров задано, следует ввести вместо этого параметра комплексную величину, вещественная часть которой равна исследуемому параметру.

- коэффициент, влияние которого на устойчивость системы определяется. Предположим входит линейно в характеристическое уравнение, тогда (1) можно привести к виду

A(p)=P(p)+ Q(p) (3)

Граница Д-разбиения согласно (2) определяется

A(jw)=P(jw)+ Q(jw) (4)

Т.к. представлено комплексным числом, то это позволяет в результате подстановки р вместо jw отобразить мнимую ось в плоскости корней на плоскость комплексного коэффициента , после этого можно мнимую часть отделить от вещественной:

(5)

Предавая различные значения w строим кривую, которая отображает мнимую ось комплексной плоскости Р, т.е. границу -разбиения плоскости(jw). В связи с симметричной частью характеристик относительно вещественной оси достаточно построить кривую Д-разбиений , а затем дополнить ее зеркальным отображением относительно вещественной оси. Нас интересует практически Д-разбиение не всей комплексной плоскости, а лишь ее действительные оси, которой отвечают действительные значения.

Рассмотрим границу Д-разбиений плоскости =x(w)+jy(w)

- штриховка

Отображение мнимой оси комплексной плоскости корней Р –есть кривая Д-разбиения на комплексной плоскости параметра , вся плоскостьразбивается на области. Для всех, лежащих внутри каждой области, все полиномы будут иметь одинаковое число корней слева от мнимой оси. После того, как найдена граница Д-разбиений необходимо наметить предполагаемую область устойчивости, для этого определим в какой области количество корней слева от мнимой оси наибольшее. Для этого применяют правило штриховки Неймарка: При изменениив плоскости Р мнимая ось проходит снизу вверх, при этом левая полуплоскость остается слева. Такому движению по мнимой оси соответствует движение по границе Д-разбиения плоскости, которую штрихуют слева по обходу при изменении.

Тогда при переходе через кривую заштрихованной стороной незаштрихованную теряется корень слева от мнимой оси. Если штриховка двойная, то мнимую ось пересекают два корня, т.о. часть плоскости, в сторону которой направлены штрихи являются отображением левой полуплоскости корней и может рассматриваться как предполагаемая область устойчивости. Т.к. - вещественная величина, то рассматриваются лишь те отрезки вещественной оси, которые лежат в области, окруженной внутренней штриховкой (). Чтобы установить является ли () – областью устойчивости выбирают из этой области какое-либо значение₁ и проверяют устойчивость по какому-либо критерию устойчивости. Т.к. число корней слева от мнимой оси одно и тоже для , лежащих внутри (), то если система является устойчивой для₁, то она будет устойчивой и для остальных , лежащих в этой области.

Д-разбиение плоскости двух параметров

Если надо проверить разбиение параметров и к на устойчивость системы и елси эти параметры входят линейно в хар-кое ур, то его можно записать:

кР(р)+ Q(p)+R(p)=0 (6)

Q(p), R(p), P(p) – полиномы, коэффициенты которых не зависят и к.

Выделяем области устойчивости в плоскости и к, для этого строим кривую Д-разбиения, полагаяjw корнем уравнения (6).

kP(jw)+ Q(jw)+R(jw)=0 (7)

Расположим полиномы на вещественную и мнимую части

(8)

Подставляя (8) в (7) и группируя вещественные и мнимые части, получаем:

kP₁(w)+Q₁(w)+R₁(w)+j[kP₂(w)+ Q₂(w)+R₂(w)]=0 (9)

Комплексная величина равна 0 только тогда, когда одновременно вещественная и мнимая части равны 0, поэтому вместо (9) запишем два уравнения:

(10)

Эта система позволяет определить k_x и _x при некоторой w=w_x. Значения k_x и _x на плоскости и к определяют точку, которая принадлежит кривой Д-разбиения. Чтобы найти все точки этой кривой следует решить методом определителей уравнения (10) относительно к и.

(11) (12)

- главный определитель

(13) (14)(15)

При для каждого значенияw уравнения (11), (15) можно определить и к и, следовательно, построить в плоскости, к границу Д-разбиения. К откладывается по оси абсцисс,по оси ординат. Если поменять местами столбцы определителя, то надо изменить обозначения осей на плоскости (к,).

Уравнения (11), (12) справедливы только для тех w, при которых (10) линейно-независимы и совместны.

При w=0 и w=бесконечности уравнение (10) перестают быть линейно-независимыми, т.к. - является непрерывной функциейw и его знак может меняться при w=0 и w=бесконечности, в этом случае числитель и знаменатель в (11) и (12) одновременно могут оказаться =0 или бесконечности. Поэтому граница Д-разбиения по 2 вещественным параметрам, которая строится по ур. (11) и (12) изменением выполняется особыми прямыми, уравнения которых получаются подставкой в (9)w=0 и w=. Наиболее просто уравнения особых прямых могут быть получены: если свободный член и коэффициент при старшем члене не зависит оти к.

То =0, а₀ получим уравнение особой прямой для w=0, приняв 0 коэффициент a_n при старшем члене, найдем уравнение особой прямой w=.

Если указанные коэффициенты хар-го ур. зависят от и к, то особая прямая стремится ки не вычерчивается.

Кривая Д-разбиения плоскости двух параметров не симметрична относительно вещественной оси, но имеет совпадающие точки, соответствующие значениям +w и –w, т.к. согласно (11) и (12) и к – являются четными функциямиw, а согласно (13) определитель нечетная функцияw. Поэтому достаточно построить кривую Д-разбиений только для +w, а для –w она повторяется. Если главный определитель =0, то это означает, что кривой Д-разбиения не существует и все разбиения плоскости осуществляется особыми кривыми.

После построения кривой Д-разбиения намечаем предполагаемую область устойчивости DN₀, для этого применяем правило штриховки.

Если к – откладывается по оси абсцисс, а - по ординате то, двигаясь по Д-кривой от, штрихуем левую сторону Д-кривой прии правую при. При движение вдоль кривой Д-разбиения знакменяется только при пересечении с особыми прямыми, т.е. приw=0, w=,w=w₁.

Т.к. кривая Д-разбиения при изменении проходится дважды, то ее и штрихуют дважды, оба раза с одной стороны. Т.к. знакпри изменении знакаw₀ меняется на обратный.

Штриховка особых прямых (одновременно заштрихованные и незаштрихованные стороны Д-кривой и особой прямой должны располагаться навстречу друг другу).

Особые прямые для w=0 и w=штрихуют одинарной штриховкой.

Аособые прямые, которые получаются дляw=w₁, для которых системы изменяет знак и (10) становится линейно-зависимым имеют двойную штриховку.

Получив в плоскости (, к) области с одинаковым числом корней слева от мнимой оси определяют область с наибольшим числом корней слева от мнимой оси. Выбирают в этой области какую-либо точку и проверяя на устойчивость исходное уравнение, в которое вместои к подставляют координаты этой точки, выясняют: существует или нет область устойчивости.

Вопросы самоконтроля:

1. Представьте порядок построения Д-разбиения плоскости одного комплексного числа.

2. Назовите правило штриховки Неймарка.

3. Назовите правила построения границы Д-разбиения в плоскости двух параметров.

4. Дайте определение штриховки границы Д-разбиения в плоскости двух параметров.

Список литературы по теме лекции:

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория CAP, М.,2005

2. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование, М.,2003