Лекция 7

Цель лекции: рассмотреть порядок получения передаточной функции звена и системы автоматического управления; рассмотреть преобразование Лапласа и его свойства.

Задачи лекции:

1. Передаточные функции звеньев и систем автоматического управления.

2. Преобразования по Лапласу.

3. Свойства преобразований по Лапласу.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

• Порядок расчета передаточных функций звеньев САУ;

• Порядок расчета передаточной функции САУ;

• Порядок проведения преобразований по Лапласу;

• Все свойства преобразований по Лапласу, используемые при вычислении передаточных функций.

Учебный материал Передаточные функции звеньев и систем автоматического управления

Операторная форма записи уравнений динамики

Обобщенное дифференциальное уравнение звеньев в автоматике является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и записывается:

(1)

В этом уравнении все коэффициенты Т –постоянные, вещественные величины (или равны 0), имеют размерность -время или являются постоянными времени.

к – коэффициент передачи звена по какому-либо возмущению.

В дальнейшем все дифференциальные уравнения звеньев будем записывать по единым правилам ТАУ:

1. Выходная величина (координата сигнала воздействия) и все ее производные записываются в левой части уравнения.

2. Коэффициент при в первой степени всегда приводят к 1.

3. Входная величина и ее производные записываются в правой части уравнения.

Т.к. аналитическое решение дифференциальных уравнений является сложной задачей, то теория АУ используется операторная форма записи дифференциального уравнения, что позволяет проводить анализ и синтез систем АУ в виде линейных алгебраических уравнений. При операторной форме записи дифференциальных уравнений операция дифференцирования по времени заменяется символом Р, т.е. .

(2)

Т.к. дифференцирование является линейной операцией, то (2) перепишем

(3)

Обобщенное дифференциальное уравнение звеньев автоматики в операторной форме. Введем обозначения: ;

Полином d(p), стоящий при выходной координате называется характеристическим полиномом, или выходным операторным полиномом звена.

K(p), стоящий при входной координате называется передаточным коэффициентом звена или входным оператором.

Замечание. Для большинства звеньев, не охваченных ОС передаточный коэффициент k(p) не содержит производных входной координаты, т.е. и выражается в число к.

(4)

Из (4) следует важное выражение, связывающее входную и выходную координату звена:

или (5), где

- передаточный оператор звена

Т.к. в уравнении (5) входной и выходной сигнал являются функции времени, а полиномы зависят от оператора р, то производить математические операции с таким уравнением нельзя, поэтому для анализа и синтеза САУ применяются методы операционного исчисления, основанные на использовании преобразования Лапласа, для функции переменного времени в функцию другого аргумента (в нашем случае р), который будет называться аргумент преобразования Лапласа и представляет комплексное число.

Прямое преобразование Лапласа для f(t) имеет вид:

Функция Ф(р) – изображение функции f(t)

f(t) – оригинал изображения Ф(р).

Для получения изображения по Лапласу функции f(t), используются методы:

1. метод непосредственного интегрирования и подставления пределов.

2. использование таблиц:

f(t)	d(t)		1(t)	p
L[f(t)]	dФ(p)	1	1/p	1/p

Операция перехода от изображения Ф(р) к искомой функции f(t), т.е. нахождение оригинала по изображению называется обратным преобразованием Лапласа и записывается:

Преобразование Лапласа обладают свойством линейности, т.е. изображение линейных комбинаций каких-либо функций равный подобной же линейной комбинаций изображений этих функций.

=Ф(р)

=Ф₁(р)

=Ф₂(р)

Ф(р)=Ф₁(р)+Ф₂(р)

2. Умножение или деление начальных функций на какую-либо переменную или постоянную , не зависящую от р иt приводят к умножению изображения на этот же множитель.

3. Умножение аргумента оригинала приводят к следующему изменению изображения.

4. Дифференцирование оригинала соответствует умножению изображения на оператор р.

5. Интегрирование оригинала соответствует делению оригинала на оператор р.

Применим преобразование Лапласа к входной и выходной координате уравнения (4), получим:

Ф(р)d(p)=M(p)k(p) (6)

(7)

- передаточная функция звена

Передаточной функцией динамического звена называется отношение входного полинома к характеристическому или отношение изображения входной и выходной координат при нулевых начальных условиях. Передаточная функция является важнейшей характеристикой звеньев, по которым судят об их динамических свойствах. Она позволяет легко находить общее решение линейных дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях, т.е. статическую характеристику звеньев или САУ.

1. Находим изображение М(р) входной координаты по таблицам.

2. Умножаем изображение входной координаты на передаточную функцию звена, получаем изображение выходной координаты.

3. По полученному изображению выходной координаты F(p) получаем оригинал выходной координаты

Вопросы самоконтроля:

1. Сформулировать основное правило ТАУ при составлении передаточной функции звена автоматики.

2. Дать определение преобразованию по Лапласу.

3. Перечислить свойства Лапласа, применительно в передаточным функциям.

4. Применить преобразование Лапласа к входным и выходным сигналам звеньев автоматики.

5. Дать определение передаточной функции звена автоматической системы.

Список литературы по теме лекции:

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория CAP, М.,2005

2. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование, М.,2003