Лекция 28

Цель лекции: изучение расчета степени устойчивости и степени колебательности САУ.

Задачи лекции:

1. Понятие степени устойчивости САУ.

2. Понятие степени колебательности САУ.

3. Определение областей расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

4. Определение степени колебательности и степени устойчивости САУ по движению корней характеристического уравнения по комплексной плоскости.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Определение степени колебательности САУ;

2. Определение степени устойчивости САУ;

3. Понятие коэффициента затухания;

4. Определение областей устойчивости по кривым Д-разбиения.

Учебный материал Степень устойчивости и степень колебательности систем

Показатели качества САР можно определить из графика переходного процесса. Но для его построения надо решить диф.ур. или получить этот график экспериментально, что часто вообще невозможно. В связи с этим нашли широкое применение косвенные методы оценки качества САР по степени их устойчивости. Известно, что при приближении системы к границе устойчивости корни хар-го ур. системы перемещаются на комплексной плоскости по направлению к мнимой оси из левой полуплоскости в правую. Одним из косвенных показателей качества устойчивых САР является степень удаленности корней хар.ур. замкнутой системы, лежащих в левой комплексной полуплоскости от мнимой оси. Расстояние ближайшего корня от мнимой оси характеризует запас устойчивости системы и называется степенью устойчивости этой системы. Величинаравна вещественной части корня, ближайшего к мнимой оси. Решение однородного диф.ур. с постоянными коэффициентами имеет вид:, где- отклонение регулируемой величины от заданного значения;A_i – постоянная интегрирования; -корни характеристического уравнения.

Для устойчивой системы - вещественные, отрицательные корни или комплексный с отрицательной вещественной частью.

Процесс регулирования заканчивается, когда все составляющие переходного процесса войдут в зону допустимых отклонений. Скорость затухания составляющей определяется абсолютным значением величины вещественной части соответствующего корня. Чем больше вещественная часть, тем быстрее процесс затухания, и наоборот.

Т.о. составляющая переходного процесса с наименьшей вещественной частью в определенной мере характеризует затухание всего процесса если все вещественные части корней по абсолютному значению будут >, то любая составляющаябудет затухать быстрее, чем, где Т- время затухания, наибольшее по техническим условиям процесса.

Известно, что расположение комплексных корней на плоскости хар-ся не только расстоянием(наименьшего корня от мнимой оси), но и углом, в которой вписываются наиболее удаленные от вещественной оси комплексные корни, наибольший из углов, образованных отрицательной действительной полуосью и лучами, проведенными от начала координат через корни Р₁, Р₂ характеризует колебательность системы.

Ctg этого угла m=ctg, называется коэффициентом затухания колебаний или степенью колебательности.

Согласно уравнению: , где- степень затухания. Сопряженные комплексные корни, имеющиеmax<, дадут составляющую колебательного переходного процесса, имеющее наименьшее затухание.

А – амплитуда

Степень затухания составляющей с наименьшим затуханием = . Если на комплексной плоскости корней провести в левой полуплоскости прямую параллельную мнимой оси на расстояниии два луча из начала координат под угломк отрицательной полуоси получим в левой полуплоскости шесть областей:

1 и 2 – соответствуют составляющим переходного процесса системы со степенью устойчивости < и коэффициентом затухания колебаний <m. Степень устойчивости недостаточна.

3 – ст.устойчивости <;>0

4, 5 – ст.уст. >;<m

6 – степень устойчивости <;>m если требуется, чтобы САР имела степень устойчивости >и коэффициентом затухания колебаний >m, надо, чтобы все корни характеристического уравнения располагались внутри области 4. С помощью метода Д-разбиений на плоскости двух переменных параметров к и можно определить области, в которых обеспечивается заданная степень устойчивостии коэффициент затуханияm. Для этого в характеристическом уравнении системы заменяем р на величину (), где-заданная степень устойчивости. Выделяем из коэффициентов полученного уравнения переменные параметры к ии приравняв к 0 вещественную и мнимую составляющие левой части уравнения получаем уравнения (11) и (12) координат кривой Д-разбиения. Полученная кривая отобразит на плоскости параметров не мнимую ось, а прямую параллельную ей и сдвинутую от нее влево на расстояние. Эта кривая ограничивает область корней, вещественная часть которой < величине (-), т.е. область, в которой степень устойчивости системы выше заданной. Удаленность от мнимой оси корня, расположенного на луче ОЕ равна:

. Для этого корня выражение ()в выраженииw(j-m). Т.о. если в характеристическом уравнении символ р заменить на w(j-m), то при повторении Д-разбиения получим еще одну кривую, ограниченную область, в которой коэффициент затухания колебаний будет> заданной величины m. В результате выполнения двух Д-разбиений получим в плоскости переменных параметров к, системы границу заданной устойчивости системы(1) и границу заданной колебательности системы, характеризуемой коэффициентом затуханияm.

Построенные кривые разделяют плоскость переменных параметров к, на 4 области:

- область w степень устойчивости меньше заданной и степенью колебательности < заданной (система имеет корни в области на комплексной плоскости корней);

- область со степенью устойчивости >заданной и колебательности > заданной (система имеет корни в 4 и 5 области на комплексной плоскости корней);

- область со степенью устойчивости >заданной и степенью колебательности<заданной (все корни лежат внутри области 4 на комплексной плоскости корней);

4- область устойчивости: степень устойчивости < заданной, степень колебательности > заданной (область ина комплексной плоскости корней).

Можно построить третью кривую Д-разбиения отображающую мнимую ось комплексной плоскости корней на плоскости параметров к, (замена р наjw) можно получить границу устойчивости системы. При заданной степени устойчивости и колебательности системыm предъявленным требованиям соответствуют только те системы, в которых параметры к, изменяются в пределах области. Для уменьшения объема вычислений эту область можно найти без построения полных границ устойчивости. Для этого надо построить на плоскости параметров только те части границы, которые соответствуют 4 на комплексной плоскости корней. Т.к. эта область симметрична, то достаточно построить участки границы АВ и ВЕ, что соответствует изменениюw от 0 до . Подставивw от w=0 в т.А до w=в т. В в выражение, определенные границы области с заданной степенью устойчивости , получим участок кривой -1, являющейся частью границы области. Подставивw от w= до wв выражение, определяющее границы области с заданным коэффициентом затухания колебаний m, получим участок кривой-2, образующий другую часть границы области .

Вопросы самоконтроля:

1. Представьте порядок определения колебательности САУ по расположению корней на комплексной плоскости.

2. Дайте определение областей устойчивости по кривым Д-разбиения.

3. Дайте определение границы устойчивости по кривым Д-разбиения.

Список литературы по теме лекции:

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория CAP, М.,2005

2. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование, М.,2003