Лекция 22

Цель лекции: изучение основных критериев устойчивости (Раусса, Гурвица) САУ.

Задачи лекции:

1. Порядок расчета коэффициентов таблицы Раусса.

2. Правила составления матрицы, состоящей из коэффициентов характеристического уравнения САУ.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Определение устойчивости САУ по Рауссу;

2. Определение устойчивости САУ по Гурвицу.

Учебный материал Основные критерии устойчивости:

-Раусса-Гурвица

Критерий Раусса являются алгебраическим критерием и позволяет по коэффициентам хар-го ур. замкнутой системы определить место нахождения корней без решения хар-го ур. Критерий Раусса представляет собой правило, оформленное в виде таблицы, при этом коэффициенты уравнения, имеющие четные индексы записываются в первую строку, имеющие нечетные индексы- во вторую строку, остальные строки которых всего (n+1) и столбцы таблицы заполняются по предыдущим известным строкам на основе определенного правила.

№ стр	1	2	3	4	К
1	a0=C11	a2=C12	a4=C13	a6=C14
2	a1=C21	a3=C22	a5=C23	a7=C24
3	C31=a2-	C32=a4-	C33=a6-	C34=a8-
4	C41=a3-	C42=a5-	C43=a7-	C44=a9-
	Ci=C(i-2), (k+1)

Если в полученной таблице все коэффициенты первого столбца при а₀>0, то вещественные части всех корней хар-го ур. отрицательны и система устойчива.

Если хотя бы один коэффициент первого столбца 0, то система неустойчива при этом число переменных знаков этого столбца показывает число корней с положительной вещественной частью. Т.о. критерий Раусса имеет формулировку:

Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все величины первого столбца были >0 при положительном коэффициенте a₀ при старшем члене хар-го ур.

Недостаток критерия Раусса: большой объем арифметических вычислений при высокой степени хар-го ур.

Критерий устойчивости Гурвица: формирует условие устойчивости в виде определителя. Условие устойчивости по Гурвицу сводится к тому, чтобы при a₀>0 все диагональные миноры главного определителя были >0.

Если хар-ое ур. n-ой степени САР имеет вид:

(1),

то используя коэффициенты этого уравнения составляют главный определитель Гурвица. Для этого все коэффициенты, начиная с с коэффициента (n-1) производной выписывают последовательно до свободного члена диагонали. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз- коэффициентами с убывающими индексами. Места, которые должны быть заняты коэффициентами с индексами выше a_n и ниже a₀ заполняют 0.

В результате получают определитель из n-строк и n-столбцов. Его первая строка состоит из нечетных коэффициентов, начиная с а₁, вторая строка включает все четные коэффициенты, третья строка получается из первой, а четвертая из второй, сдвигом вправо на 1 элемент. На освободившемся месте стоит ноль и т.д.

Из главного определителя выделяются диагональные миноры

Номер диагонального минора определяет номер коэффициента по диагонали, до которого составляется данный минор. Последний столбец главного определителя содержит только один коэффициент a_n отличный от 0. Поэтому n-ый диагональный минор определяют следующим образом:

Критерий Гурвица формируется следующим образом: чтобы хар-ое ур. имело все корни с отрицательной вещественной частью, главный определитель и все его диагональные миноры должны иметь один знак с коэффициентом а₀ и быть>0. Для положительных коэффициентов уравнения a_n>0, следовательно, главный определитель можно вычислить не все диагональные миноры главного определителя, т.к. некоторые из них приобретают положительные значения при положительности других миноров.

Система находится на границе устойчивости, когда главный определитель (3)

Это равенство возможно в двух случаях, когда a_n=0 или . В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости. Один из корней хар-го ур. =0. Во втором случае система находится на границе колебательной устойчивости (два сопряженных корня хар-го ур. находятся на мнимой оси). В большинстве случаев коэффициент, но если система находится на границе устойчивости, то это граница колебательной устойчивости. На основании равенства (3) при всех заданных параметрах системы принять за неизвестный один параметр и определить его предельного значения, при котором система находится на границе устойчивости. Таким параметром обычно считают коэффициент усиления системы. Критерий Гурвица рационально использовать при степени хар-го уравнения.

Вопросы самоконтроля:

1. Дайте определение устойчивости по Гурвицу.

2. Назовите правило составления миноров Гурвица по характеристическому уравнению системы.

3. Дайте определение устойчивости по Рауссу.

4. Назовите правила расчета коэффициентов таблицы Раусса.

Список литературы по теме лекции:

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория CAP, М.,2005

2. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование, М.,2003