Тема 4. Структурный анализ систем автоматического управления Лекция 18.

Цель лекции: изучение динамических характеристик САУ по переходным функциям.

Задачи лекции:

1. Динамические характеристики САУ.

2. Определение показателей качества по динамическим характеристикам САУ.

3. Определение устойчивости САУ по динамическим характеристикам

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Порядок построения динамических характеристик САУ;

2. Метод последовательного логарифмирования;

3. Получение выражения передаточной функции по экспериментальной динамической характеристике звена или САУ.

Учебный материал

Определение динамических характеристик по переходным функциям

Наиболее важной временной характеристикой является реакция системы на единичное мгновенной, скачкообразное изменение выходной величины (переходная характеристика). Этот режим очень часто возникает в системе регулирования как при включении, так и при изменении заданного значения регулируемой величины. Также входное воздействие любого другого вида. Можно с достаточной степенью точности представить как ряд ступенчатых функций на систему. Т.к. под переходной функцией системы понимается процесс изменения выходной величины функции времени при переходе системы из одного равновесного состояния в другое при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия и диф.ур. системы тоже определяет изменение выходной величины функции времени, то следовательно переходная характеристика представляет собой графическое решение диф.ур. системы для единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях и характеризует динамические свойства системы. Имея переходную функцию h(t), полученное в результате эксперимента всегда можно определить коэффициенты диф.ур. или передаточную функцию системы, используя один из способов приближенной аппроксимации переходной функции решения диф.ур.

Метод последовательного логарифмирования

Этот метод позволяет проводить аппроксимацию переходной функции решением диф.ур. с простыми вещественными корнями при условии, что аппроксимируемая переходная функция может быть гладкой и колебательной. В этом случае она может быть представлена: (1)

С₀=h-установившееся состояние

С_i и -вещественные части

Выражение (1) – есть решение линейного диф.ур. порядка n с возмущающим воздействием типа ступенчатая функция требуется по таблично или графически заданной переходной функции, определить коэффициенты С_i при изменении i от 1 до n и корни характеристического уравнения, и порядок уравненияn. Идея метода заключается в последовательном приближении -t переходной функции решением уравнения первого порядка, т.е. С₁е и если эта аппроксимация не удовлетворительна на каком-либо отрезке времени (0, Ту), то вводится в аппроксимацию выражение =2 и т.д.

Пример:

Пусть имеется функция вида:

1) Зададим переходную функцию равно отстающими значениями h(t_i)

t_i-t_i-1=2мс i=0,1…22

коэффициент усиления к=100 Ty=44

h(Ty)=h(44)=100=C₀

Согласно (1) вычитанием из С₀ ординаты функции h(t_i) получим функцию

h₁(t_i)=C₀-h(t_i)

Составим таблицу

ti	0	2	4	6	8	10	12	14	…	38	40	42	44
h(ti)	0	8,5	19,3	30,7	40,7	52	58,4	65,4		98,5	99	99,4	99,6
h1(ti)	100	91,4	80,7	69,3	59,3	48	41,6	34,6		1,4	1	0,6	0,4
lgh1	2	1,96	1,9	1,84	1,77	1,69	1,62	1,54		0,15	0	-0,22	-0,4
C1e-	-160	-125	-97	-76	5,92
h2(ti)	60,9	33,8	18,9	8,7

Логарифмируя h₁(t) получаем

Проведем по графику этой функции асимптоту , описываемую уравнением:

Отсюда lgC₁=2,206, следовательно С₁=160,9

С₁е=160,9е^-0,125t_i

Если переходная функция h₁(t) действительно является решением диф.ур. первого порядка, то функция при всехt. Найдем значение h₂(t) называемой функцией навязок. Как видно из таблицы в интервале [0-6]мс аппроксимация не удовлетворительна, т.к. не учли корни высших порядков, введем в рассмотрение второй член уравнения (1). Строим функцию .Строим вторую асимптоту, она пересекает ось абсцисс в точке 13,3, ординат в точке 1,785, следовательноlgC₁=1,785, t₂=13,3C, C₂=-61, . Аппроксимация считается удовлетворительной, т.к. ошибка не превышает 2%. Число корней -2. Запишем решение диф.ур.:

или перепишем h(t)=100(1-1,69e^-0,125t+0,610e^-0,310t) (2)

Проверим проверку: h(0)=C₀-C₁-C₂=0,1 h’(0)=

Звено второго порядка, св-ва объекта описываются передаточной функцией вида:

Вопросы самоконтроля:

1. Представьте порядок построение динамической характеристики звена или САУ.

2. Представьте порядок получения передаточной функции звена или САУ по экспериментальной переходной функции.

Список литературы по теме лекции:

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория CAP, М.,2005

2. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование, М.,2003