Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции / Лекции_для_информ._системы_ТАУ.doc
Скачиваний:
274
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
8.28 Mб
Скачать
  1. Использование метода Попова для определения границ устойчивости системы

  2. Каким образом проводится коррекция автоколебаний.

  3. Назовите условие применимости метода гармонического баланса

  4. Дайте определение метода малого параметра.

  5. Как определить параметры автоколебаний по методу Коченбургера.

Лекция 48

Цель лекции: изучение метода разделения движений, исследование систем с малыми нелинейностями, составляющие движения систем.

Задачи лекции:

  1. Аналитический аппарат метода разделения движений.

  2. Выделение отдельных составляющих движения.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

  1. Порядок использования метода разделения движений;

  2. Выделение подсистемы быстрых движений;

  3. Выделение подсистемы медленных движений;

  4. Определение параметров автоколебаний с помощью метода разделения движений.

Учебный материал

Метод разделения движений

Этот метод основан на методе 3.3. и позволяет существенно упростить исследование систем с малыми нелинейностями, которые обычно представляют собой динамические звенья с малой постоянной времени.

Общие свойства систем

- однозначные, дифференцируемые, удовлетворяющие условиям существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Свойства:

1) При движении из н.у., не лежащих на поверхности , скорость изменения переменнойна порядок выше, чем.

2) Если н.у. находятся на поверхности , то скорости изменения переменныхибудут соизмеримы.

Для систем типа (*) можно выделить две фазы движения:

  1. движение из произвольных н.у. к поверхности.

  2. движение вдоль поверхности.

Такие системы называют также системами с разнотемповыми процессами.

Выделение отдельных составляющих движения

Выделим отдельные фазы движения: быструю и медленную.

  1. Из (*) выделим подсистему медленных движений (П. М. Д.)

есть уравнение вырожденной системы или уравнение статики. Пусть , тогда

есть уравнение подсистемы медленных движений.

2) Выделим подсистему быстрых движений. Растянем процессы во времени. . Тогда. Запишем систему (*) в виде :

-есть система в новом времени.

уменьшим до нуля.

перейдем к старому времени.

- есть подсистема быстрых движений.

Замечание:

  1. Сумма порядков ПБД и ПМД равна порядку исходной системы.

  2. На практике уравнение ПБД можно получить сразу, по уравнениям (*), не вводя масштабы по времени.

Пример:

разделить движения в данной системе.

  1. ПМД. Полагаем . Тогда из третьего уравнения :

подставляя в исходную систему, получим уравнения подсистемы медленных движений:

  1. ПБД. Полагаем

Вопросы самоконтроля:

  1. Дайте определение подсистемам медленных движений.

  2. Дайте определение подсистемам быстрых движений.

  3. Как выделить отдельные составляющие движения системы.

  4. Дайте определение разнотемповым движениям системы.

Лекция 49

Цель лекции: изучение теоремы Тихонова, теоремы Красовского, условие устойчивости разнотемповых систем.

Задачи лекции:

  1. Теорема Тихонова.

  2. Теорема Красовского.

  3. Условие устойчивости разнотемповых систем.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

  1. Порядок использования теоремы Тихонова для исследования нелинейных систем;

  2. Порядок использования теоремы Красовского для исследования нелинейных систем;

  3. Порядок использования условия устойчивости разнотемповых систем для исследования нелинейных систем.

Учебный материал Основные теоремы метода разделения движений

Теорема Тихонова:

Если подсистема быстрых движений асимптотически устойчива, то для любого как угодно малого момента времени найдется такое значение параметра , что траектория движения исходной системы (1) будет находиться в какой угодно малой окрестности поверхности.

Доказательство теоремы основано на использовании второго метода Ляпунова, в частности выбранная для системы быстрых движений функция Ляпунова используется для оценки устойчивости системы.

Теорема Тихонова означает, что при экспоненциальной устойчивости движений поведение исходной системы будет близко к поведению медленных движений. Поэтому поведение исходной системы можно оценить по ПМД.

Теорема Красовского:

Если ПБД и ПМД порознь экспоненциально устойчивы, то и исходная система будет экспоненциально устойчива.

Пример: Оценить устойчивость системы:

Выделим ПМД: .

есть уравнение подсистемы медленных движений. ПМД устойчива.

Найдем уравнение подсистемы быстрых движений.

есть уравнение быстрых движений. ПБД неустойчива.

Т.к. подсистема быстрых движений неустойчива, то воспользоваться условиями теорем Тихонова и Красовского нельзя.