1. Аппроксимируем фаз.Траекторию отрезками прямых 21, 32, 43…
2.
Находим среднее значение 
=y:
;
;
…
3.
Определим проекции отрезков на ось x:
4.
Определяем значение времени
5. Строим кривую переходного процесса x=f(t) с его max значения.
Недостатком этого метода является трудность точного считывания координат кривой в некоторых точках (в т.пересечения фаз.траектории с осью.)
Метод гармонического баланса
Для исследования нелинейных систем, описываемых диф.ур. выше третьего порядка методы, рассмотренные ранее практически не приемлемы в силу их значимости усложнения.
В основу метода гармонического баланса положено предположение, что возможны колебания в системе имеют гармонический характер, т.е. что основное значение при перио.движениях в системе имеет первая гармоника. Т.к. система регулирования как правило представляет собой НЧ фильтры и хорошо гасит колебания высших гармоник, то предположение о гармоническом характере возможных колебаний оправдано.
Кроме предположения о гармоническом характере движения вводится понятие эквивалентного, комплексного коэффициента усиления. Метод гармонического баланса используют приближенную линеаризацию приближенных систем и называется методом гармонической линеаризации.
При подаче на вход линейной системы или звена устойчивых гармонических колебаний.
Xвх=Авыхsinwt
На выходе системы также возникает гармоническое колебание, но с другой амплитудой и фазой
Отношение этих гармонических колебаний в комплексной форме представляет собой АФХ системы.
Если подать на вход нелинейного элемента такие же sin-ые колебания, то на выходе нелинейного элемента так же получим периодические колебания, но по форме значительно отличающихся от sin-ых.
Примечание. Любая периодически изменяющаяся переменная величина может быть представлена как сумма бесконечного множества гармоник, т.е. разложена в ряд Фурье. Первая гармоническая составляющая имеет тот же период Т, что и исходная не sin-ые колебания. Частота колебаний первой гармогики=второй гармонике:
Амплитуда же колебаний от гармоники к гармонике. САР обладает существенной инерционностью, т.е. входная величина большой частоты практически не проходит через инерционную систему и не оказывает не нее существенного влияния.
Именно поэтому с учетом того, что амплитуда входных колебаний от гармоники к гармонике уменьшается. Для приближенной оценки выходная величины, рассматриваемой как спектр гармоник в большинстве случаев достаточно учесть только первую гармоническую составляющую. Представим на графиках характер период колебаний вых.величина нелинейных элементов разных видов при подаче на их входы sin колебаний.
а
xвх Для
всех
)
Авх
t
0
а
)
б
) б)
в) в)
г)
Как следует из рисунка а) первая гармоника вых.величины нелинейного элемента при однозначной его хар-ке равна:
Xвых=Aвыхsinwt
АФХ:
-коэффициент
усиления нелинейного элемента.
Амплитуда
первой гармоники Авых
определяется по формулам разложения
вых.периодической функции в ряд Фурье.
Для релейного элемента а) она определяется
выражением: Авых=4В/
Т.о. нелинейный элемент с однозначной статической хар-ой может быть =представлен усилительным звеном.
Для
нелинейного элемента с неоднозначной
статической хар-ой первая гармоника
вых.величины имеет отставание относительно
входной величины на угол
,
т.е.
Величины
Авых
и
определяется формой неоднозначной
статической хар-ой нелинейного звена.
Для релейного звена б) эти величины равны.
Авых=4В/
Т.о. АФХ нелинейного элемента в отличии от такой же хар-ки линейного элемента не зависит от частоты, а является функцией амплитуды вх.величины, величины зоны нечувствительности, неоднозначности, люфта и т.д.
Т.к. при данной статической хар-ке нелинейного элемента АФХ зависит только от амплитуды входной величины, то АФХ нелинейного элемента обозначается WН(А)
Заметив в АФХ jw на р получим выражение для передаточных функций нелинейного элемента:
Для элемента с однозначной статической хар-ой его пер.ф. WН(р)=КН.
Используя приближенные выражения для пер.ф. и АФХ нелинейного элемента, заменяем фактическую нелинейную связь между входной и выходной величинами линейной зависимостью. Эта замена носит название гармонической линеаризации.
Метод гармонического баланса применяется для анализа качества переходных процессов в комбинированных системах.
Метод гармонического баланса позволяет выделить такой специфический вид переходных процессов, как автоколебания.
Автоколебания - колебания с постоянной амплитудой и частотой, возникающие в системе при отсутствии периодического сигнала на входе.
Метод гармонического баланса предполагает предварительную линеаризацию нелинейного элемента (гармоническую линеаризацию).
Вопросы самоконтроля:
Свяжите между собой точки кривой переходного процесса и точки фазовой кривой нелинейной системы.
Дайте определение методу гармонического баланса.
Для чего применяется метод гармонического баланса.
Дайте определение автоколебаниям.