Способ Коченбургера

Процедура аналогична способу Гольдфарба, только правило определения устойчивости формулируется следующим образом: если при движении по обратной частотной характеристике нелинейного элемента АФХ линейной части пересекается “снаружи во внутрь”, то данная точка пересечения - устойчивые автоколебания. В противном случае автоколебания неустойчивые.

Этот способ удобнее, если имеется сложная передаточная функция высокого порядка.

Вопросы самоконтроля:

1. Дайте определение метода Гольдфарба.

2. Как определить параметры автоколебаний по методу Гольдфарба.

3. Дайте определение метода Коченбургера.

4. Как определить параметры автоколебаний по методу Коченбургера.

Лекция 47

Цель лекции: изучение влияния параметров системы на параметры автоколебаний.

Задачи лекции:

1. Аналитический аппарат способа Попова.

2. Метод малого параметра.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Порядок использования способа Попова для определения устойчивости автоколебаний нелинейной системы;

2. Влияние параметров системы на автоколебания;

3. Условие применимости метода гармонического баланса для исследования нелинейных систем;

4. Аналитический аппарат метода малого параметра.

Учебный материал Способ Попова

Для определения границы устойчивости используется критерий Михайлова.

Решая систему аналитически, найдем параметры .

Таким образом: приполучим.

Влияние параметров системы на автоколебания

Используем способ Попова.

Подбирая можно получить в системе автоколебания определенной частоты и амплитуды.

Коррекция автоколебаний.

Автоколебания - равновесный режим нелинейной системы, поэтому необходимо, чтобы они имели определенную амплитуду и частоту. Если реальные автоколебания отличаются от заданных, то возникает необходимость в их коррекции. Это возможно сделать следующими методами:

1. по возможности изменяют параметры линейной части.

2. если нельзя изменить параметры линейной части, то на входе линейной части устанавливают корректор.

3. если возможно, изменяют параметры нелинейного элемента.

Условие применимости метода гармонического баланса

1. Линейная часть должна иметь свойства ФНЧ.

2. В случае статической нелинейной характеристики, т.е. когда и правильной передаточной функции, т.е.колебания в системе возможны только если степень характеристического полинома больше или равна трем.

3. В случае неоднозначной статической нелинейной характеристики и правильной передаточной функции автоколебания в системе возникают если степень характеристического полинома больше или равна двум.

Метод малого параметра

Этот метод применяется для исследования свойств систем, в уравнения которых входят нелинейности с малым весовым коэффициентом.

Метод позволяет ответить на вопрос, когда этими нелинейностями можно пренебречь и какими свойствами будет обладать исходная система.

и - однозначные, непрерывные, дифференцируемые функции, соизмеримые по норме.

наряду с (1) будем рассматривать вырожденную систему, получаемую из исходной при .

Если вырожденная система (2) экспоненциально устойчива, то и система (1) будет также устойчива.

Доказательство:

Используем второй метод Ляпунова.

Для системы (2) существует функция Ляпунова такая, что:

в силу системы (2) будет отрицательно определена, кроме того, будет удовлетворять квадратичным ограничениям.

.

Для анализа устойчивости системы (1) воспользуемся той же функцией и найдемв силу системы (1).

где естьв силу (2), причем.

Изменяя всегда можно найти такое его значение, что выполнится неравенство:. Следовательно, и вся сумма будет отрицательна, т.е. исходная система будет асимптотически устойчива.

Замечание:

Асимптотической устойчивости вырожденной системы недостаточно для устойчивости исходной системы.

Данная теорема позволяет упростить исследование устойчивости сложных нелинейных систем, т.к. достаточно проверить устойчивость более простой вырожденной системы.

Вопросы самоконтроля: