Лекция 42

Цель лекции: изучение особых точек фазового портрета; предельные циклы фазового портрета; устойчивый фокус; сепаратрисы.

Задачи лекции:

1. Особые траектории.

2. Особые точки фазового портрета.

3. Предельные циклы фазового портрета.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Порядок анализа нелинейных систем по особым точкам фазового портрета;

2. Понятия предельного цикла фазового портрета, устойчивого фокуса, сепаратрисы.

Учебный материал Особые траектории

Для линейных систем фазовые траектории и особые точки отражают возможное состояние их движения и равновесия. Однако для полной характеристики нелинейных систем необходимо рассмотреть особые траектории:

1) Особые точки (частный случай особой траектории)

2) Предельные циклы

Изолированные замкнутые кривые, которые могут быть в нелинейных системах называться предельными циклами.

Рис.1

На рис.1 представлена фазовая плоскость с неустойчивым фокусом и устойчивым предельным циклом.

Изображена точка, находящаяся внутри предельного цикла по фазовым траекториям сматывается с неустойчивого фокуса и наматывается на предельный цикл.

Если изображенная точка находится вне предельного цикла, то она по фазовой траектории наматывается на предельный цикл. Т.о., где бы не находилась изображающая точка, она при своем движении обязательно попадет на предельный цикл. Такая особая траектория – устойчивый предельный цикл.

Предельные циклы могут быть устойчивыми и неустойчивыми.

Рис.2

На рис.2 представлена фазовая плоскость хар-ся устойчивым фокусом и неустойчивым предельным циклом.

Допустим, что изображенные точки движутся по замкнутой траектории, если предельный цикл неустойчивый достаточно сколь угодно малого возмущения, чтобы точка сошла с траектории. При попадании точки внутрь предельного цикла, она через определенное время близко подойдет к устойчивому фокусу, система будет находится в состоянии равновесия. Если изобр. точка в результате возмущения сошла с особой траектории вне ее, то система сколь угодно далеко уйдет от состояния равновесия, т.е. станет неустойчивой. Неустойчивый предельный цикл разделяет фазовую плоскость на области, хар-щие устойчивость и неустойчивость системы.

В рассмотренном случае устойчивость или неустойчивость зависит от величины возмущения. Данная система устойчива в малом и неустойчива в большом. Предельный цикл может быть полуустойчивым.

Рис.3

Представлена фаз.плоскость с неустойчивым фокусом и полуустойчивым предельным циклом.

Пусть изобр.точка находилась в начале координат, т.е. система находилась в состоянии равновесия, т.к. фокус неустойчивый, то и равновесие будет неустойчивым. Т.е. достаточно малого возмущения, чтобы система вышла из этого состояния и никогда в него не вернулась изображение будет удаляться от начала координат по траектории, имеющей форму спиралей. Такое движение изобр.точки будет продолжаться до тех пор пока она не попадет на предельный цикл. В этот момент система будет находится в режиме периодических колебаний, и будет называться автоколебательным режимом. Однако этот режим неустойчив. Если система, находящаяся в режиме автоколебаний дать возмущение так, чтобы изобр.точка оказалась в области лежащей вне предельного цикла, то она по спирали будет удаляться от предельного цикла, непрерывно увеличивая амплитуду колебаний. Т.е. система будет неустойчивой.

Полуустойчивость предельного цикла состоит в том, что при попадании изобр.точки внутрь предельного цикла система приходит в режим автоколебаний. Попадание же точки в область, расположенную вне предельного цикла, выводит систему из автоколебательного режима.

Рассмотренный режим возникновения автоколебаний называют мягким, т.к. при сколь угодно малых возмущениях в системе возникают автоколебания.

Другим видом полуустойчивого предельного цикла –цикл с устойчивым фокусом.

y

x

Представлена фаз.плоскость с устойчивым фокусом, и полуустойчивым предельным циклом.

Допустим, что система находится в состоянии равновесия с изобр.точкой в начале координат. Если приложить к системе возмущение, при котором изобр.точка не выйдет на область, охваченную предельным циклом, то она при своем движении будет приближаться к устойчивому фокусу. Если из-за большого возмущения изобр.точка окажется вне области, охваченным предельным циклом, то она будет двигаться по траектории, наматываемой на предельный цикл. Попав на предельный цикл изобр.точка будет двигаться по нему до тех пор, пока система не получит сколь угодно возмущение, уменьшающее амплитуду колебаний. В этом случае изобр.точка попадет на траекторию, соответствующую устойчивому состоянию системы. Т.о. в рассмотренной системе автоколебания будут неустойчивым, это и определяет полуустойчивость предельного цикла. Система будет устойчива в малом, режим возникновения автоколебаний жесткий.

Жесткость режима определяется тем, что для возникновения автоколебаний, величина отклонений не должна быть < некоторого для данной системы значения.

К особым траекториям относятся сепаратрисы.

Представлена фаз.плоскость, на которой имеется неустойчивый узел, устойчивый фокус, седло, устойчивый предельный цикл. Кривые АВСД делят фаз.плоскость на области, хар-щие различные виды движений систем, поэтому они называются сепаратрисами.

Вопросы самоконтроля:

1. Дайте определение устойчивого фокуса фазового портрета.

2. Дайте определение устойчивого предельного цикла.

3. Охарактеризуйте состояние нелинейной системы по сепаратрисам.

4. Дайте определение полуустойчивого предельного цикла.

5. Дайте определение мягким автоколебаниям.