Лекция 19

Передаточная матрица для системы дифференциальных уравнений.

Цель лекции: изучение передаточных матриц для звеньев с множеством входов и множеством выходов.

Задачи лекции:

1. Рассмотреть передаточную матрицу звена.

2. Изучить описание звена с множеством входов и множеством выходов.

3. Рассмотреть порядок построения АЧХ звена с множеством входов и множеством выходов.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Порядок построения передаточной матрицы звена;

2. Порядок построения характеристик звена с множеством входов и выходов.

Учебный материал

Передаточная матрица для системы дифференциальных уравнений соответствует преобразованию Лапласа для векторных сигналов и рассматривается абсолютно аналогично с учетом некоммутативности матриц.

(18)

Рассмотрим систему (18) более общую, чем (7), она отличается тем, что в данном случае может быть многомерный вход и многомерный выход:

А– матрица (mxn);

B– матрица (nxk); u(t) W(p) y(t)

C – матрица (pxn);

u

Блок имеет множество входов и выходов.

– k-мерный вектор;

y – p-мерный вектор.

Делаем преобразование Лапласа при 0 начальных условиях:

Выразим выход через вход:

(pE-A)x(p)=Bu(p); x(p)=(pE-A)^-1Bu(p); Y(p)=С(pE-A)^-1Bu(p);

Y(p) = W(p)U(p) = C(pE-A)^-1BU(p). (19)

Чтобы получить передаточную матрицу, необходимо, таким образом, вычислить обратную матрицу. Элементы передаточной матрицы будут представлять собой дробно-рациональные функции оператора p, наименьший общий знаменатель которых является характеристическим полиномом P(p) системы (18). Справедливо равенство:

P(p) = det (pE-A).

Важнейшим понятием, широко применяемым в ТУ, является понятие частотных характеристик. Именно методы, основанные на применении частотных характеристик, являются наиболее конструктивными и удобными в инженерной практике специалиста по автоматике. К сожалению, они наиболее применимы именно в классическом случае системы с одним входом и выходом.

Амплитудно-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ) блока с передаточной функцией W(p) называется комплексно–значная функция W(j) вещественного аргумента , полученная при подстановке p= j.

Периодическая функция с периодом т.

Спектр периодической функции находится в точках 2к/т.

x(t) |a_K|

а₀ а₁ а₂ …

…а_к …

0 Т t 0 2/Т 4/Т … 2К/Т 

Спектром периодической функции являются отдельные точки.

Покажем, какая имеется связь между спектром сигналов в системе, частотной характеристикой и преобразованием Лапласа.

Спектром периодической функции является набор ее коэффициентов Фурье. Если имеем периодическую функцию с периодом Т, то коэффициент Фурье а_к вычисляется по формуле:

; (20)

При увеличении периода Т, интервал между точками спектра уменьшается, в одной и той же полосе частот становится больше точек спектра, спектр становится "плотнее". В пределе переходим к непериодической функции.