Лекция 24

Цель лекции: изучить влияние параметров системы на ее устойчивость.

Задачи лекции:

1. Рассмотреть метод Д-разбиений.

2. Понятие плоскости коэффициентов.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Влияние параметров системы на ее устойчивость;

2. Разделение области коэффициентов на области устойчивости системы.

Учебный материал Влияние параметров системы на ее устойчивость

Рассмотрение влияния параметров системы на ее устойчивость может производится путем анализа числа корней характеристического уравнения, лежащих в правой полуплоскости пространства параметров системы. Этот метод – Д-разбиение пространства параметров и представляет собой критерий устойчивости, обобщающий все рассмотренные выше критерия устойчивости, он дает возможность построения первой кривой определить все те значения, интересующего нас параметра, при которой система остается устойчивой.

Пусть дано характеристическое уравнение n-ой степени:

При заданном значении коэффициентов уравнения в общем случае оно имеет m корней в правой полуплоскости и (n-m) корней в левой полуплоскости. При изменении коэффициентов уравнения корни его также изменяются и следовательно перемещаются в плоскости корней, описывая определенную кривую. При некотором значении коэффициентов один из действительных корней характеристического уравнения попадает на мнимую ось и становится равным 0, а при выходе на мнимую ось двух комплексных сопряженных корней характеристического уравнения имеет два чисто мнимых корня . Значения этих коэффициентов удовлетворяют уравнению:

A(jw)=(jw)ⁿ+a_n-1(jw)^n-1+…+a₀=0 (1)

Уравнение (1) в (n-1) мерном пространстве коэффициентов, по осям которого отложены коэффициенты а₀, а₁, а₂, а_n соответствует точка при данном значении частоты w. При изменении w от () получаем поверхностьA(jw)=0. Если перемещаться в пространстве уравнения, т.е. менять коэффициенты уравнения, то при некотором их значении мы пересечем поверхность A(jw)=0 и следовательно пара или один корень будет переходить из правой (левой) полуплоскости корней в левую (правую)

р³+а₂р²+а₁р+а₀=0 (2)

Каждому из коэффициентов а₀, а₁, а₂, а_n в трехмерном пространстве соответствует точка. Этому значению коэффициентов уравнения соответствует определенное расположение корней в плоскости корней.

В плоскости корней соответствует определенное расположение корней.

D(2,1)-m

D(3,0)-n

Точке М соответствуют – m₁, m₂, m₃.

Точке N – n₁, n₂, n₃.

При некоторых значениях коэффициентов некоторые корни окажутся на мнимой оси, т.е. корни будут иметь вид (0), следовательно, соответствующая точка в пространстве будет удовлетворять уравнению:A(jw)=(jw₁)³+a₂(jw₁)²+a₁(jw₁)+a₀=0

Этому уравнению при изменении частоты от соответствует поверхностьS в пространстве коэффициентов. При изменении коэффициентов характеристического уравнения его корни изменяются и попадают на мнимую ось только тогда, когда точка в пространстве коэффициентов попадает на поверхность S. При пересечении точкой поверхности корни переходят из одной полуплоскости в другую, следовательно поверхность S разделяет пространство коэффициентов на области, каждой точке которой соответствует полином третей степени, имеющей определенное количество корней в правой и левой части плоскости корней.

Введем обозначения: если характеристический полином n-ой степени имеет m корней справа и n-m корней слева от мнимой оси, то всю область пространства можно записать Д(n-m, m). Число до запятой – число корней слева от мнимой оси. Из D(3,0) видим, что она является областью устойчивости в пространстве коэффициентов, т.к. она соответствует расположению всех трех корней слева от мнимой оси, такое разбиение пространства на области устойчивости и неустойчивости называется Д-разбиением переходного через границу Д-разбиений соответствует переходу корней уравнения через мнимую ось, поэтому уравнение границы Д-разбиения имеет вид уравнения (1), следовательно, может быть получена из характеристического уравнения А(р)=0 заменой р на jw. По полученной форме уравнения можно построить границу Д-разбиения, где . Аналогично можно построить Д-разбиение в пространстве не коэффициентов уравнения, а параметров системы, от которых зависят коэффициенты характеристического уравнения.

Вопросы самоконтроля:

1. Дайте определение пространству коэффициентов САУ.

2. Представьте порядок получения движения корней по пространству коэффициентов.

3. Дайте определение Д-разбиению в пространстве.

4. Назовите правила построения границы Д-разбиения.

Список литературы по теме лекции:

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория CAP, М.,2005

2. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование, М.,2003