Условие устойчивости

Чтобы САУ описываемая линейными диф.ур. с постоянными коэффициентами была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественные корни диф.ур. были отрицательны, а комплексные корни имеем отрицательную вещественную часть.

Устойчивость линеаризованных систем

САУ обычно описывается нелинейными диф.ур., однако при малых отклонениях регулируемой величины в большинстве случаев нелинейную систему можно заменить ее линейной моделью и исследовать нелинейную систему как линейную (линеаризованную). Справедливость результатов полученных при исследовании устойчивости линеаризованных систем для реальной системы доказано в теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова

1) Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то исходная система, описываемая нелинейными уравнениями устойчива. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены второго и высших степеней отклонения переменных не могут изменить устойчивость системы.

2) Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то исходная система неустойчива, при этом никакие отброшенные при линеаризации второй или выше степеней отклонения переменных не могут придать системе устойчивость.

3) Если хар-ое ур. Линеаризованной системы имеет хотя бы один вещественный корень или пару чисто мнимых сопряженных корней, то поведение действительной системы не может определяться его линеаризованным уравнением. Линеаризованная система находится на границе устойчивости и отброшенные при линеаризации уравнения члены второй или выше степеней отклонения переменных, коренным образом изменяют описание динамического процесса реальной системы.

Т.о. если корни хар-го ур. Расположены на комплексной плоскости, то для устойчивости системы необходимо, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси.

Р₁, Р₂- корни вещественные отрицательные, система устойчива

Р₃, Р₄ – комплексно-сопряженные с вещественной частью, система устойчива

Р₅ – система неустойчива

Р₆, Р₇ – корни чисто мнимые система находится на колебательной границе устойчивости.

Р₈, Р₉ – комплексно-сопряженные с положительной частью, то система неустойчива

Р₁₀ – система неопределенна

Использование метода нахождения корней хар-го ур. Представляет большие трудности при решении уравнений второй и выше степени. Уравнение выше 4-ой степени вообще аналитически не решается. Для нахождения корней необходимо иметь значения коэффициентов уравнения, следовательно, значения всех параметров системы. Т.к. связь между корнями уравнения и параметрами системы нельзя выразить в общем виде, то трудно выяснить, как надо изменить неустойчивую систему или ее отдельные параметры, чтобы сделать систему устойчивой. Были разработаны методы исследования САУ по косвенным признакам, позволяющим судить о знаках действительных частей корней без решения самого хар-го ур. Эти косвенные признаки или математические условия, которым должны удовлетворять коэффициенты хар-го ур. или какие-либо функции этих коэффициентов, чтобы система была устойчивой, называются критериями устойчивости.

Вопросы самоконтроля:

1. Дайте определение трем основным случаям поведения системы после возмущающего воздействия.

2. Дайте определение устойчивости САУ в малом.

3. Дайте определение устойчивости САУ в целом.

4. Дайте определение устойчивости САУ по Ляпунову.

Список литературы по теме лекции:

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория CAP, М.,2005

2. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование, М.,2003