Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья

Передаточную функцию звена (элемента системы автоматического управления) можно преобразовать, разложив на множители полиномы ее числителя и знаменателя. Конечно, если известны корни уравнений (нули) и (полюса).

.

Если в передаточной функции произвести замену , то получаем , называемое частотной характеристикой звена (частотный коэффициент передачи звена).

Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз, определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Об этом будет более подробно в соответствующем разделе ниже.

Корни полиномов числителя и знаменателя можно изобразить на плоскости.

Комплексная плоскость корней и :

Отсюда:

1. Корень расположен в правой полуплоскости, то есть ReS_e0 .

2. Корень расположен в левой полуплоскости, то есть ReS_k0 .

3. Углы наклона векторов и таковы, что _k_e, причем , .

Звено, у которого все корни (полюса и нули) расположены в левой полуплоскости (являются левыми) называется минимально фазовым звеном.

Если хотя бы один из корней звена расположен справа, то такое звено - не минимально фазовое звено.

У минимально фазовых звеньев существует однозначная зависимость между частотными характеристиками.

То есть, располагая одной частотной характеристикой, можно построить остальные. Другими словами, в любой частотной характеристике заключена вся информация о поведении звена.

Неустойчивые звенья - всегда не минимально фазовые.

Типовые звенья. Характеристики звеньев

Все многообразие звеньев может быть по математическому описанию представлено лишь несколькими характерными (типовыми) звеньями.

Минимально фазовые звенья:

1. Идеальное усилительное звено (пропорциональное безинерционное, усилительное, звено нулевого порядка);

2. Реальное усилительное звено (апериодическое, генерационное первого порядка);

3. Идеальное дифференцирующее звено;

4. Реальное дифференцирующее звено;

5. Идеальное интегральное звено;

6. Идеальное формирующее звено;

7. Звенья второго порядка:

• Апериодическое;

• Колебательное;

• Консервативное.

Не минимально фазовые звенья:

1. Звено чистого запаздывания;

2. Квазипериодическое звено;

3. Квазиколебательное звено.

Идеальное усилительное звено

Это рычаг - идеальное звено, если пренебречь весом и потерями в подшипниках.

Получим частотные характеристики идеального усилительного звена. Заменяем в передаточной функции : ;

Тогда ВЧХ и МЧХ звена будут определяться как ; ;

Фазовая частотная характеристика ФЧХ звена: ;

Амплитудная частотная характеристика АЧХ: ;

Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ звена: .

Переходная характеристика ℒ .

Весовая функция .

Все характеристики идеального усилительного звена изображены на рисунках:

Реальное усилительное звено

Математические модели данного звена имеют вид:

дифференциальное уравнение: ; соответствующая ему передаточная функция: ; частотные характеристики:

- АФЧХ;

- ВЧХ; - МЧХ; причем , .

Следовательно, (АФЧХ) располагается в четвертом квадранте координатной плоскости. Кроме того (выполнили деление). Если подставить в , то получим , откуда после преобразований:

;  ;  .

Имеем окружность радиусом , сдвинутую на вправо по оси абсцисс.

Можно утверждать, что АФЧХ расположена:

Амплитудно-частотная характеристика реального усилительного звена имеет вид:

Фазово-частотная характеристика: , причем , .

На графиках представлены все полученные зависимости:

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ):

.

Для ее построения выполним исследования.

а) Зона низкой частоты. Н.Ч.

, .

б) Зона высокой частоты. В.Ч.

, ; ;

Наклон характеристики в области высоких частот .

Определим погрешность в точке  = 1/T.

.

Это соответствует ошибке по коэффициенту усиления в раз. Но ошибка с изменением частоты быстро уменьшается (смотри на рисунок). Значит, имеет смысл пользоваться асимптотическими характеристиками.

Для определения переходной характеристики звена можно выполнить обратное преобразование Лапласа: ℒ .

Весовая функция реального усилительного звена: .

По переходной характеристике h(t) можно определить характеристики звена (постоянную времени и коэффициент усиления).

Аналогично те же величины можно определить и из весовой функции звена