- •Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья
- •Типовые звенья. Характеристики звеньев
- •Идеальное усилительное звено
- •Реальное усилительное звено
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Реальное дифференцирующее звено
- •Интегрирующее звено
- •Форсирующеезвено
- •Квазиинерционное звено
- •Звенья второго порядка. Передаточные функции
- •Частотные характеристики звеньев второго порядка
- •Звено чистого запаздывания
Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья
Передаточную функцию звена (элемента системы автоматического управления) можно преобразовать, разложив на множители полиномы ее числителя и знаменателя. Конечно, если известны корни уравнений(нули) и(полюса).
.
Если в передаточной функции произвести замену , то получаем, называемое частотной характеристикой звена (частотный коэффициент передачи звена).
Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз, определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Об этом будет более подробно в соответствующем разделе ниже.
Корни полиномов числителя и знаменателя можно изобразить на плоскости.
Комплексная плоскость корнейи :
Отсюда:
1. Корень расположен в правой полуплоскости, то есть ReSe0 .
2. Корень расположен в левой полуплоскости, то есть ReSk0 .
3. Углы наклона векторов итаковы, чтоke, причем,.
Звено, у которого все корни (полюса и нули) расположены в левой полуплоскости (являются левыми) называется минимальнофазовымзвеном.
Если хотя бы один из корней звена расположен справа, то такое звено - не минимально фазовое звено.
У минимально фазовых звеньев существует однозначная зависимость между частотными характеристиками.
То есть, располагая одной частотной характеристикой, можно построить остальные. Другими словами, в любой частотной характеристике заключена вся информация о поведении звена.
Неустойчивые звенья - всегда не минимально фазовые.
Типовые звенья. Характеристики звеньев
Все многообразие звеньев может быть по математическому описанию представлено лишь несколькими характерными (типовыми) звеньями.
Минимально фазовыезвенья:
Идеальное усилительное звено (пропорциональное безинерционное, усилительное, звено нулевого порядка);
Реальное усилительное звено (апериодическое, генерационное первого порядка);
Идеальное дифференцирующее звено;
Реальное дифференцирующее звено;
Идеальное интегральное звено;
Идеальное формирующее звено;
Звенья второго порядка:
Апериодическое;
Колебательное;
Консервативное.
Не минимально фазовыезвенья:
Звено чистого запаздывания;
Квазипериодическое звено;
Квазиколебательное звено.
Идеальное усилительное звено
Это рычаг - идеальное звено, если пренебречь весом и потерями в подшипниках.
Получим частотные характеристики идеального усилительного звена. Заменяем в передаточной функции:;
Тогда ВЧХ и МЧХ звена будут определяться как ;;
Фазовая частотная характеристика ФЧХ звена: ;
Амплитудная частотная характеристика АЧХ: ;
Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ звена: .
Переходная характеристика ℒ.
Весовая функция .
Все характеристики идеального усилительного звена изображены на рисунках:
Реальное усилительное звено
Математические модели данного звена имеют вид:
дифференциальное уравнение: ; соответствующая ему передаточная функция: ; частотные характеристики:
- АФЧХ;
- ВЧХ;- МЧХ; причем,.
Следовательно, (АФЧХ) располагается в четвертом квадранте координатной плоскости. Кроме того(выполнили деление). Если подставитьв, то получим, откуда после преобразований:
;;.
Имеем окружность радиусом , сдвинутую навправо по оси абсцисс.
Можно утверждать, что АФЧХ расположена:
Амплитудно-частотная характеристика реального усилительного звена имеет вид:
Фазово-частотная характеристика: , причем,.
На графиках представлены все полученные зависимости:
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ):
.
Для ее построения выполним исследования.
а) Зона низкой частоты. Н.Ч.
,.
б) Зона высокой частоты. В.Ч.
,;;
Наклон характеристики в области высоких частот .
Определим погрешность в точке = 1/T.
.
Это соответствует ошибке по коэффициенту усиления в раз. Но ошибка с изменением частоты быстро уменьшается (смотри на рисунок). Значит, имеет смысл пользоваться асимптотическими характеристиками.
Для определения переходной характеристики звена можно выполнить обратное преобразование Лапласа: ℒ.
Весовая функция реального усилительного звена: .
По переходной характеристике h(t)можно определить характеристики звена (постоянную времени и коэффициент усиления).
Аналогично те же величины можно определить и из весовой функции звена