Звенья второго порядка. Передаточные функции
Математически
модели данных звеньев могут быть
представлены дифференциальным уравнением
и передаточной
функцией
.
В зависимости от
величины коэффициентов
это звено может быть апериодическим
второго порядка, колебательным, либо
консервативным.
Примером звена второго порядка является RLC-цепочка:
Получим
передаточную функцию RLC-цепочки.
На основании законов Кирхгофа имеем:
;
;
.
Далее, после соответствующих подстановок
и преобразований, получаем дифференциальное
уравнение в операторной форме:
и передаточную функцию:
.
где постоянные
времени
.
Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения
Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения:
,
;
,
то можно получить передаточную функцию:
где
.
В зависимости от постоянных времени Тм и Тя двигатель может являться либо колебательным, либо апериодическим звеном второго порядка:
Если 
,
то звено апериодическое 2 порядка;
Если
,
- колебательное звено;
Если 
,
- граничный случай.
Представим передаточную функция звена второго порядка в виде:
где
;
.
Характеристическое
уравнение (смотри знаменатель передаточной
функции):
,
корни которого:
.
Если постоянные таковы, что
,
то корни
.
Такому звену соответствует апериодическое
движение 2 порядка. Передаточная функция
трансформируется к виду:
.Если
,
тогда корни
- движение колебательное.Если
- граничный случай:
.Если
,
- консервативное звено. Физически это
означает, что в данном звене отсутствует
рассеяние энергии. Звено теряет свойство
диссипативности. При этом
.
Передаточную функцию колебательного звена можно привести к виду:
,
где
- частота собственных, недемифированных
колебаний (при
).
,
откуда
,
- коэффициент затухания.
1) 0 < <1 - звено колебательное.
2) > 1 - апериодическое звено.
Частотные характеристики звеньев второго порядка
АФЧХ:
ВЧХ:
;
МЧХ:
;
АЧХ:
;
ЛАХ:
.
Ниже приводится изображение частотных характеристик
Для построения логарифмической амплитудной характеристики рассматриваются области частот:
Н.
Ч.
;
.
В.
Ч.
;
;
.
А
симптотической
ЛАХ пользоваться нельзя. Очень велика
погрешность. При =1
она составляет 6 дб. На практике пользуются
нормированными кривыми поправок
(добавок).
ФЧХ:
,
,
при
< 1/T1,
при
> 1/T1.
ЛФХ: Логарифмическую фазовую характеристику, как и амплитудную, также можно брать нормированную (из соответствующего справочника):
Переходная характеристика звена:
ℒ-1
.
Весовая функция звена определяется путем дифференцирования переходной характеристики.
Звено чистого запаздывания
.
Упрощения: 1) пусть волна идет только в сторону возрастания r;
2) если r
= 0, то
;
если r
= l, то
.
Передаточная
функция:
.
В качестве примера звена чистого запаздывания может служить транспортер:
|
- время чистого запаздывания. |
;
.
Другим примером являются длинные линии.
|
|
;
. Чистое
запаздывание имеет место в тиристорных
преобразователях. Здесь
.
m -пульсность управления.
Характеризует число пульсаций или
гармоник на периоде сетевого напряжения.
Пусть
.
Тогда при частоте
.
Ввиду важности звена тиристорного преобразователя в системах автоматического управления электроприводами звено чистого запаздывания имеет несколько видов аппроксимации.
1)
.
- коэффициент передачи
тиристорного преобразователя.
- информационная постоянная времени
системы управления (постоянная входного
фильтра).
Если первая гармоника входного сигнала одного порядка с частотой питающего напряжения, то сильно сказывается свойство полууправляемости тиристоров и чистое запаздывание необходимо принимать в рассмотрение. Данный эффект имеет место при наличии на входе системы высокочастотных помех. Заканчивается в течение периода питающего напряжения тиристорного преобразователя.
2)
где
.
Получается в результате разложения
в ряд Тейлора:
.
Если учесть только один член
разложения, тогда
.
3)
- тиристорный преобразователь
представляется пропорциональным звеном.
Решение уравнения дает бесконечное число нулей и полюсов.
Получили первый признак неминимальной фазовости – нули оказались в правой полуплоскости.
Рассмотрим частотные характеристики звена чистого запаздывания.
;
;
;
.
Одному и тому же значению А() соответствует несколько k. Следовательно АЧХ - неоднозначная частотная характеристика.
Рассмотрим очень медленный процесс. Переходная характеристика
ℒ-1
ℒ-1
.
Весовая
функция
.
