- •Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья
- •Типовые звенья. Характеристики звеньев
- •Идеальное усилительное звено
- •Реальное усилительное звено
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Реальное дифференцирующее звено
- •Интегрирующее звено
- •Форсирующеезвено
- •Квазиинерционное звено
- •Звенья второго порядка. Передаточные функции
- •Частотные характеристики звеньев второго порядка
- •Звено чистого запаздывания
Идеальное дифференцирующее звено
Дифференциальное уравнение, передаточная функция и АФЧХ звена имеют вид: ;.
ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ звена соответственно равны:
; ;;;.
Ниже представлены графики этих зависимостей:
Переходная характеристика и весовая функция звена равны:
ℒℒℒ;.
Примеры дифференцирующих звеньев:
1) |
| ||
2) . |
y = Ic ; x = Uc . | ||
3) ;. |
y = UL ; x = IL . |
Во всех трех случаях имеет место идеальное дифференцирование.
Дифференцирующие звенья - лучшее средство коррекции!
Реальное дифференцирующее звено
Дифференциальное уравнение и передаточная функция такого звена имеют вид: .
Примером реального дифференцирующего звена может служить RC - цепочка:
с передаточной функцией .
Амплитудно-фазовая частотная характеристика реального дифференцирующего звена: ;
ВЧХ и МЧХ:
Причем, при ,. Вся АФЧХ расположится в первом квадранте. Так же, как для апериодического звена, можно показать, что это уравнение окружности.
АЧХ: ; ЛАХ:
Для построения ЛАХ рассматриваются две частотные области - низкочастотная и высокочастотная:
Н.Ч.: ;
В.Ч.: .
ФЧХ:
Переходная характеристика:
ℒ;
Весовая функция:.
Это звено также опережающее и его можно применять для коррекции.
Интегрирующее звено
Данному звену соответствует интегральное уравнениеи передаточная функция.
Ниже приведены частотные характеристики интегрирующего звена.
АФЧХ:; ВЧХ:; МЧХ: ; АЧХ:;ФЧХ: ;
ЛАХ: .
Построение их не вызывает сложностей. ЛАХ интегрирующего звена изображена на рисунке:
Форсирующеезвено
Данное звено используется в системах автоматического управления для целей коррекции. Его передаточная функция имеет вид:
;
Частотные характеристики:
АФЧХ: ; ВЧХ:;
МЧХ: ; ФЧХ:;; при.
АЧХ: .
ЛАХ: ;
Для построения ЛАХ форсирующего звена рассматриваются области низких частот НЧ и высоких частот ВЧ:
НЧ: ;;
ВЧ: ;.
Точка пересечения ЛАХ оси ординат определяется как:
.
Квазиинерционное звено
Имеется две разновидности квазиинерционного звена, представленные передаточными функциями и. В обоих случаях корни полинома знаменателя передаточной функции (полюса звена) - положительные. Следовательно, звено является не минимально фазовым.
Для первого звена его АФЧХ: .
Соответственно ВЧХ и МЧХ: ,.
АЧХ: (такая же, как у инерционного звена).
ФЧХ: , причем, а. Следовательно, фазовая характеристика поменяла знак по сравнению с фазовой характеристикой инерционного звена.
Для построения АФЧХ звена выполним следующие преобразования:
,,,
,- получили уравнение окружности. А так каки, то графиком АФЧХ является полуокружность, расположенная в первом квадранте:
Получим частотные характеристики для второй разновидности квазиинерционного звена.
АФЧХ: ;
ВЧХ: ; МЧХ:; ФЧХ:
Для построения АФЧХ выполняются аналогичные преобразования:
;;.
АЧХ: - совпадает с характеристикой предыдущего звена и реального усилительного звена.
Звенья второго порядка. Передаточные функции
Математически модели данных звеньев могут быть представлены дифференциальным уравнением и передаточной функцией.
В зависимости от величины коэффициентов это звено может быть апериодическим второго порядка, колебательным, либо консервативным.
Примером звена второго порядка является RLC-цепочка:
Получим передаточную функциюRLC-цепочки. На основании законов Кирхгофа имеем:;;. Далее, после соответствующих подстановок и преобразований, получаем дифференциальное уравнение в операторной форме:и передаточную функцию:
.
где постоянные времени .
Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения
Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения:
, ;, то можно получить передаточную функцию:
где.
В зависимости от постоянных времени ТмиТядвигатель может являться либо колебательным, либо апериодическим звеном второго порядка:
Если , то звено апериодическое 2 порядка;
Если , - колебательное звено;
Если , - граничный случай.
Представим передаточную функция звена второго порядка в виде:
где ; .
Характеристическое уравнение (смотри знаменатель передаточной функции): , корни которого:.
Если постоянные таковы, что , то корни. Такому звену соответствует апериодическое движение 2 порядка. Передаточная функция трансформируется к виду:.
Если , тогда корни- движение колебательное.
Если - граничный случай:.
Если , - консервативное звено. Физически это означает, что в данном звене отсутствует рассеяние энергии. Звено теряет свойство диссипативности. При этом .
Передаточную функцию колебательного звена можно привести к виду:
,
где - частота собственных, недемифированных колебаний (при).
, откуда,- коэффициент затухания.
1) 0 < <1 - звено колебательное.
2) > 1 - апериодическое звено.