Лекция 40

Цель лекции: изучение устойчивости нелинейных систем, построение фазовой плоскости, построение фазовой траектории.

Задачи лекции:

1. Функция Ляпунова.

2. Фазовая траектория нелинейной системы.

3. Фазовый портрет нелинейной системы.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Определение устойчивости нелинейной системы с помощью формулы Ляпунова;

2. Определение фазовой траектории нелинейной системы;

3. Определение фазового портрета нелинейной системы.

Учебный материал Характеристики нелинейных систем

Система называется асимптотически устойчивой в смысле Ляпунова, если при V>0 имеет смысл W<0.

Система называется устойчивой в смысле Ляпунова, если при V>0, W=0.

Функция V, удовлетворяющая заданным условиям, называется функцией Ляпунова.

Знакоопределенная функция V является непрерывной диф.ф. и при V>0 неограниченно растет с увеличением X_i, т.е. limV.

Т.о. задача исследования нелинейных систем сводится к определению функции Ляпунова и ее производной.

(6)

Общее правило отыскания функции Ляпунова отсутствует, что затрудняет применение прямого метода Ляпунова.

В общем случае при заданных нелинейных уравнениях (2) можно подобрать несколько различных вариантов функции Ляпунова, т.к. требуется только знакоопределенность функции V и W.

Различные варианты функции V дают различные варианты устойчивости САУ, следовательно метод Ляпунова дает возможность получить достаточные условия устойчивости, которые не всегда будут необходимыми, т.е. при выполнении условий устойчивости, соотв. V, система будет устойчивой, но эти условия могут не охватывать всей области устойчивости системы по параметрам. То того как подобрана функция Ляпунова зависит на сколько близки будут полученные достаточные условия к необходимым и достаточным условиям.

Метод фазовой плоскости (фазовой траектории)

Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями общих методов решения, которых нет. В случае отсутствия решения анализ систем выполняется обходимыми приемами, одним из которых является метод фазового пространства.

Фаза или состояние системы характеризуется рядом параметров: входной и выходнойвеличиной, скоростного изменения выходной величины, точностью управленияи т.д. Чем выше порядок системы, тем больше параметров, описывающих состояние системы. Для системыn-го порядка параметров, характеризующих состояние системы должно быть .

Набору координат соответствует n-мерное пространство с одноименными координатами осей. Это пространство называется фазовым. Если состояние системы меняется, то соответствующая точка начинает перемещаться в фазовом пространстве, вычерчивая кривую, называемую фазовой траекторией. Фазовая траектория является исчерпывающей характеристикой поведения системы.

Вариант фазовой траектории для 3х-мерного пространства приведен на рис.1:

Наибольшей информативностью обладает фазовая траектория в пространстве отклонений. Для каждой координаты переходят к ее приращениям относительно установившегося значения.В качестве другой координаты обычно используется скорость изменения приращения , т.е. .

Фазовая траектория, построенная на плоскости в координатах ,, называется фазовым портретом (см. рис.2):

Пусть некоторая система выведена из состояния устойчивости в т.. Состояние системы изменится в соответствии с линией 1. Эта линия в процессе работы СУ приближается к началу координат, т.е. соответствует устойчивой системе. Если систему вывести в т., то состояние системы описывается фазовой траекторией 2. Фазовая траектория удаляется от начала координат и поэтому соответствует неустойчивой системе. Таким образом, по характеру фазовой траектории системы можно судить о ее поведении, о устойчивости и о качестве управления.

Вопросы самоконтроля:

1. Опишите порядок определения устойчивости нелинейной системы с помощью формулы Ляпунова.

2. Дайте определение фазовой траектории нелинейной системы.

3. Дайте определение фазового портрета нелинейной системы.