Лекция 39

Цель лекции: изучение методов исследования нелинейных систем: структурные преобразования нелинейных систем; метод фазовой плоскости.

Задачи лекции:

1. Структурные преобразования нелинейных систем.

2. Устойчивость нелинейной системы по Ляпунову.

3. Понятие фазовой плоскости.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Правила структурных преобразований нелинейных систем;

2. Определение фазовой плоскости;

3. Понятие устойчивости нелинейных систем.

Учебный материал Методы исследования нелинейных систем

1. Структурные преобразования нелинейных САР.

Нелинейные САР кроме нелинейных элементов всегда содержат группу линейных звеньев.

Для исследования нелинейных систем ее структурную схему преобразовывают так, чтобы получить простейшую одноконтурную систему, в которой нелинейный элемент и линейная часть были соединены последовательно.

Рис.1

Рассмотрим примеры преобразования нелинейных САР.

Рис.2

Регулирование осуществляется регулятором, в котором последовательно соединены чувствительных элемент с пер.ф. W₁(p), усилитель с пер.ф. W₂(p) и нелинейный элемент, вых.величина которого воздействует на исполнительных механизм с пер.ф. W₄(p), а также подается на вход усилителя регулятора по линии отрицательной обратной связи, имеющей пер.ф. W₃(p).

Разомкнем схему перед нелинейных элементом, т.е. преобразуем ее так, чтобы здесь был вход системы, тогда вых.величина системы будет выходная величина усилителя y₁. Регулирующее воздействие должно быть приложено к новому входу системы, поэтому сюда следует перенести регулирующее воздействие g(t).

Согласно правилам преобразования структурных схем, g₁(t) перед тем, как попасть на вход нелинейного элемента, должно пройти через звенья с пер.ф. W₁(p), W₂(p). Следовательно, в изображениях по Лапласу можем записать:

L₁[g(t)]=G₁(p)=G(p)W₁(p)W₂(p)

Все остальные связи между звеньями сохраняются и схема, представленная на рис.2 принимает вид:

Пер.ф. линейной части равна:

W_л.ч.(p)=(W₄W₅W₁+W₃)W₂

2. Рассмотрим структурную схему, в которой нелинейный элемент в цепи обратной связи, а вых.звено регулятора, действующее на механизм линейно имеет пер.хар-куW₃(p). Рис.4

Размыкая как и в предыдущем случае систему перед нелинейных звеном и перенося на новый вход системы, где регулируемое воздействие g(t), получим:

G₁(p)=G(p)W₁(p)W₂(p)W₃(p)

При этом структурная схема по рис.4 приобретает вид:

g₁(t)

При исследовании нелинейной системы в силу того, что не существует единого точного метода решения нелинейного уравнения используются частные методы. При возможности линеаризации при исследовании нелинейных систем могут применяться методы теории линейных систем. При этом результаты анализа линейной модели достоверны только для определенного диапазона отклонений переменных относительно исходного режима. Наиболее общие результаты по исследованию устойчивости нелинейных систем могут быть получены по методу Ляпунова (прямой метод).

Уравнение свободного движения в виде:

(1)

x_i-координаты системы

f_i – непрерывная или кусочно-непрерывная функция.

Рассмотрим систему с одним нелинейным элементом:

Диф.ур. этой системы при управляющем воздействии =0 (z=0) можно представить:

(2)

где

x,y – координаты

a_i, b_j, C_k-постоянные коэффициенты.

Для этой схемы нелинейная функция зависит от одной вых.переменной, а линейная часть имеет пер.ф. К(р), поэтому вместо ур.(2) можно записать:

(3)

Пер.ф. линейной части К(р) выражается:

(4)

Чтобы исследовать устойчивость по методу Ляпунова необходимо подобрать знакоопределенную функцию V(x₁, x₂, x_n) и вычислить производную по времени от этой функции с учетом (1) и (2).

(5)

Примечание: Функция называется знакоопределенной, если она во всех точках некоторой области вкруг начала координат сохраняет один знак и нигде, кроме начала координат не обращается в 0.

Функция называется знакопостоянной, если она сохраняет знак во всех точках этой области, но обращается в 0 в других точках области, кроме начала координат.

Вопросы самоконтроля:

1. Опишите правила преобразования структурных схем нелинейных систем.

2. Дайте определение устойчивости нелинейной системы по Ляпунову.

3. Дайте определение фазовой плоскости.