Лекция 26

Цель лекции: изучение расчета запаса устойчивости по амплитуде и фазе.

Задачи лекции:

1. Изучить порядок определения запасов устойчивости по амплитуде и фазе.

2. Изучить влияние звена чистого запаздывания на запаса устойчивости.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

1. Порядок определения запасов устойчивости по амплитуде и фазе.

2. Влияние звена чистого запаздывания на запаса устойчивости.

Учебный материал Понятие запаса устойчивости по амплитуде и фазе.

При выполнении условий критерия Найквиста годограф может при этом не охватывать точку (-1;j0 ) “с запасом”. Оценим этот запас. Рассматривается отдельно запас по амплитуде и по фазе.

 А - запас по амплитуде;  - запас по фазе.

ImW(jω)

А

-1 1 ReW(jω)

ω=0

Запас по амплитуде означает, что при увеличении коэффициента усиления на А система станет неустойчивой.

Аналогично, при появлении дополнительного фазового сдвига  система также станет неустойчивой. Разные причины могут влиять на запасы устойчивости. В процессе проектирования гарантируются запасы устойчивости не ниже заданных. Таким образом, запасы устойчивости есть данные на проектирование САУ.

Критерий устойчивости Найквиста может быть сформулирован с помощью логарифмических частотных характеристик, при этом и запасы устойчивости можно также и на языке ЛАЧХ и ФЧХ. При этом определяются L_дб = 20lg(А) и .

Устойчивость и запасы устойчивости на языке лачх и лфчх.

L_дб

ЛАЧХ

1

 L ω_дек

0

ФЧХ

 -



-

Влияние звена чистого запаздывания на устойчивость. Чистое запаздывание– это часть системы (цепь или блок), при прохождении которой сигнал не меняет своей формы, но задерживается на время .

Типичный пример: локальная сеть без потерь или длинная линия, или транспортная задержка.



x(t) x(t-)

Покажем, что такому преобразованию соответствует передаточная функция; для этого вычислим преобразование Лапласа выходного сигнала:

W_зап(p)=e^-p; (48)

Таким образом, звену чистого запаздывания соответствует передаточная функция, не являющаяся дробно-рациональной. Она трансцендентная.

Рассмотрим АФЧХ - частотную характеристику звена чистого запаздывания:

Im АЧХ: |W_зап(j)| = 1;

j ФЧХ: ()= -;

Видим, что звено чистого запаздывания

добавляет отрицательный фазовый сдвиг,

-1 1 тем больший, чем больше частота, тем

самым уменьшая запас устойчивости по

фазе. За счет этого сдвига система вполне

вполне может стать неустойчивой.

К сожалению, подобным образом нельзя описать запаздывание, зависящее от времени.

Пример 7: Охватим инерционное звено ООС с запаздыванием на время .

2/(p+1)

U(p) Y(p)

(-)

e^-p

Вычислим для замкнутой системы передаточную функцию и характеристический полином:

(49)

У такого характеристического полинома бесконечное число корней, среди которых могут быть и корни неустойчивые, поэтому численные методы становятся бессмысленными для обоснования устойчивости. Неприменимы критерий Гурвица и необходимое условие устойчивости, а вот частотные критерии устойчивости полностью применимы. Критерий Михайлова и, вытекающий из него критерий Найквиста, позволяют вполне корректно судить об устойчивости таких систем. Найдём АФЧХ разомкнутой системы.

Как выяснить, при каком значении система (замкнутая) становится неустойчивой. Рассмотрим пограничный случай –

прохождение через (-1;j0) на некоторой частоте *; Будем искать то минимальное значение времени запаздывания, при котором появляется неустойчивость. Подставляем АЧХ и ФЧХ инерционного звена и звена чистого запаздывания и решаем комплексное уравнение относительно * и . Для этого приравняем по отдельности модуль и аргумент. Для модуля имеется следующее равенство:

Для равенства аргументов требуется, чтобы sin(arctg^*-^*)=0; Отсюда вытекает, что arctg^*- ^* = .

Поэтому для получаем:

Это значение  есть то минимальное запаздывание в нашей системе, при котором замкнутая система уже становится неустойчивой. Заметим, что звено запаздывания может располагаться и в прямой ветви, в данном случае все расчёты сохраняются.

Вопросы самоконтроля:

1. Представьте порядок определения запасов устойчивости по амплитуде и фазе.

2. Каково влияние звена чистого запаздывания на запаса устойчивости.

Список литературы по теме лекции:

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория CAP, М.,2005

2. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование, М.,2003