
- •Лекции по
- •Учебный материал. Введение, основные понятия сау. Понятие об автоматическом управлении
- •Классификация сау
- •Лекция 2. Функциональные элементы систем автоматического управления
- •Учебный материал Классификация функциональных элементов
- •Классификация сигналов, действующих в сау
- •Статические характеристики звеньев сау
- •Дифференциальная чувствительность звеньев
- •Лекция 3. Принципы управления сау
- •Учебный материал Принципы регулирования сау
- •Измерительные и исполнительные устройства
- •Лекция 4. Основные задачи автоматического управления
- •Учебный материал
- •Задачи программного управления.
- •Задачи стабилизации.
- •Лекция 5. Линеаризация уравнений и звеньев сау
- •Учебный материал Положения, лежащие в основе линеаризации.
- •Переход от дифференциального уравнения порядка nк системе изn-дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •Геометрическая интерпретация и пример линеаризации.
- •Пример 2. Линеаризация водоема с карасями.
- •Тема 2. Линейные системы автоматического управления Лекция 6.
- •Учебный материал Вывод дифференциальных уравнений звеньев автоматики
- •Лекция 7
- •Учебный материал Передаточные функции звеньев и систем автоматического управления
- •Лекция 8.
- •Учебный материал Типовые динамические звенья автоматики
- •Лекция 9.
- •Учебный материал Передаточные функции сау
- •Лекция 10.
- •Учебный материал. Эквивалентные преобразования структурных схем
- •Основные правила эквивалентного преобразования
- •Лекция 11.
- •Учебный материал Типовые воздействия в автоматике
- •Тема 3. Частотные характеристики звеньев и систем Лекция 12.
- •Учебный материал Частотные характеристики звеньев сау
- •Лекция 13.
- •Учебный материал Порядок нахождения ачх и фчх
- •Годограф афчх инерционного звена. Звена
- •Реализация инерционного звена.
- •Логарифмические частотные характеристики инерционного звена.
- •Настоящая лачх
- •Лекция 14.
- •Операционный усилитель, охваченный комплексной оос.
- •Интегрирующее звено
- •Переходная функция интегратора
- •Весовая функция интегратора
- •Годограф афчх интегрирующего звена. Звена
- •Лачх и лфчх интегратора.
- •Точность работы такого интегратора увеличивается с ростом частоты. Именно поэтому термин "интегрирующая rCцепочка" имеет смысл.
- •Лекция 15 Реальное дифференцирующее звено. Колебательное звено.
- •Учебный материал
- •Годограф афчх реального дифференцирующего звена.
- •Колебательное звено
- •Годограф афчх инерционного звена. Звена
- •Лачх и лфчх характеристики колебательного звена.
- •Лекция 16.
- •Учебный материал Логарифмические координаты
- •Лекция 17.
- •Учебный материал Амлитудо-фазовые и логарифмические частотные характеристики сау
- •Тема 4. Структурный анализ систем автоматического управления Лекция 18.
- •Учебный материал
- •Метод последовательного логарифмирования
- •Лекция 19
- •Учебный материал
- •Блок имеет множество входов и выходов.
- •Периодическая функция с периодом т.
- •Спектр периодической функции находится в точках 2к/т.
- •Непериодическая функция.
- •Спектр непериодической функции.
- •Логарифмические частотные характеристики
- •Лекция 20 Многомерные сау со многими входами и выходами.
- •Учебный материал
- •Вобщем случае система линейных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
- •Тема 5. Устойчивость систем автоматического управления Лекция 21
- •Учебный материал Устойчивость систем автоматического регулирования
- •Методы определения устойчивости
- •Условие устойчивости
- •Теорема Ляпунова
- •Лекция 22
- •Учебный материал Основные критерии устойчивости:
- •Лекция 23
- •Учебный материал Частотные критерии устойчивости
- •Принцип аргумента
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Критерии устойчивости Найквиста
- •Лекция 24
- •Учебный материал Влияние параметров системы на ее устойчивость
- •Лекция 25
- •Учебный материал
- •Лекция 26
- •Учебный материал Понятие запаса устойчивости по амплитуде и фазе.
- •Устойчивость и запасы устойчивости на языке лачх и лфчх.
- •Влияние звена чистого запаздывания на устойчивость. Чистое запаздывание– это часть системы (цепь или блок), при прохождении которой сигнал не меняет своей формы, но задерживается на время .
- •Тема 6. Качество процессов управления Лекция 27
- •Учебный материал Качество процессов управления
- •Лекция 28
- •Учебный материал Степень устойчивости и степень колебательности систем
- •Лекция 29
- •Учебный материал Интегральные оценки качества сар
- •Порядок вычисления интегральных оценок
- •Лекция 30
- •Учебный материал Корневые критерии качества систем автоматического регулирования
- •Степень колебательности.
- •Определение параметров системы (регулятора) по заданной степени колебательности.
- •Метод смещенного уравнения.
- •Построение областей равной степени колебательности в плоскости параметров системы
- •Анализ качества регулирования.
- •Тема 7. Коррекция систем автоматического управления Лекция 31
- •Учебный материал Частотные оценки качества сар
- •Лекция 32
- •Учебный материал Синтез корректирующих устройств
- •Лекция 33
- •Учебный материал Точность сау.
- •Точность по задающему воздействию.
- •Годограф охватывает точку -1.
- •Потеря запаса устойчивости при увеличении коэффициента усиления.
- •Таким образом, увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы уменьшает коэффициенты ошибок с0 иС1то есть, в частности, ошибку при ступенчатомUзад(t).
- •Лекция 34
- •Учебный материал Методы повышения точности сау
- •Точность по возмущающему воздействию.
- •Динамическая точность.
- •Лекция 35
- •Учебный материал Случайные процессы в сау. Линейная оптимальная фильтрация.
- •Модели случайных сигналов в сау.
- •Реализация случайного процесса
- •Типичный график корреляционной функции.
- •Регулятор
- •Фильтрация помех.
- •Лекция 36
- •Учебный материал Нелинейные системы автоматического управления
- •Лекция 37
- •Учебный материал Основные виды нелинейностей в сау
- •Лекция 38
- •Учебный материал Релейные элементы-
- •Лекция 39
- •Учебный материал Методы исследования нелинейных систем
- •Лекция 40
- •Учебный материал Характеристики нелинейных систем
- •Метод фазовой плоскости (фазовой траектории)
- •Лекция 41
- •Учебный материал Метод изоклин
- •Метод припасовывания (сшивания).
- •Лекция 42
- •Учебный материал Особые траектории
- •На рис.2 представлена фазовая плоскость хар-ся устойчивым фокусом и неустойчивым предельным циклом.
- •Лекция 43
- •Учебный материал
- •В результате получим следующие значения амплитуды, частоты и периода:
- •Лекция 44
- •Учебный материал Получение кривой переходного процесса по фазовой траектории системы (графический метод)
- •1. Аппроксимируем фаз.Траекторию отрезками прямых 21, 32, 43…
- •Метод гармонического баланса
- •Лекция 45
- •Учебный материал Метод гармонической линеаризации
- •Основное уравнение гармонического баланса
- •Лекция 46
- •Учебный материал Способ Гольдфарба
- •Способ Коченбургера
- •Лекция 47
- •Учебный материал Способ Попова
- •Влияние параметров системы на автоколебания
- •Условие применимости метода гармонического баланса
- •Метод малого параметра
- •Назовите условие применимости метода гармонического баланса
- •Выделение отдельных составляющих движения
- •Лекция 49
- •Учебный материал Основные теоремы метода разделения движений
- •Условия применимости метода
- •Лекция 50
- •Учебный материал Импульсные системы
- •Варианты выходных последовательностей импульсных звеньев
- •Дискретные системы автоматического управления. Типы дискретизации. Структурные схемы импульсных систем
- •Лекция 51
- •Учебный материал Понятие решетчатой и модулированной функций. Дискретное преобразование Лапласа
- •Дифференцирование и интегрирование решетчатых функций
- •Лекция 52
- •Учебный материал Исследование устойчивости системы по разностному уравнению
- •Критерий устойчивости импульсных систем
- •Лекция 53
- •Учебный материал Свойства дискретного преобразования Лапласа
- •Лекция 54
- •Учебный материал Случайные процессы в системах автоматического регулирования.
- •Лекция 55
- •Учебный материал Случайные процессы
- •Лекция 56
- •Учебный материал Стационарные случайные процессы
- •Лекция 57
- •Учебный материал Корреляционная функция
- •Лекция 58
- •Учебный материал Спектральная плотность стационарных процессов
- •Спектральная плотность вычисляется по известной корреляционной функции при помощи формул.
- •Лекция 59
- •Учебный материал Расчеты по минимуму среднеквадратичной ошибки
- •Глоссарий
- •Основная и дополнительная литература
Лекция 25
Цель лекции: изучить проведение Д-разбиения плоскости отдного комплексного числа.
Задачи лекции:
Рассмотреть порядок построения кривой Д-разбиения на плоскости коэффициентов системы.
Правило штриховки Неймарка.
Определение области устойчивости системы по границе Д-разбиений.
Рассмотреть порядок построения кривой Д-разбиений на плоскости двух параметров системы.
Желаемый результат:
Студенты должны знать:
Порядок построения кривой Д-разбиения на плоскости коэффициентов системы;
Правило штриховки Неймарка;
Порядок определения области устойчивости системы по границе Д-разбиений;
Порядок построения кривой Д-разбиений на плоскости двух параметров системы.
Учебный материал
Д-разбиение плоскости одного комплексного числа
Если требуется выяснить одного параметра, а значения остальных параметров задано, следует ввести вместо этого параметра комплексную величину, вещественная часть которой равна исследуемому параметру.
-
коэффициент, влияние которого на
устойчивость системы определяется.
Предположим
входит линейно в характеристическое
уравнение, тогда (1) можно привести к
виду
A(p)=P(p)+
Q(p) (3)
Граница Д-разбиения согласно (2) определяется
A(jw)=P(jw)+
Q(jw) (4)
Т.к.
представлено
комплексным числом, то это позволяет в
результате подстановки р вместо jw
отобразить мнимую ось в плоскости корней
на плоскость комплексного коэффициента
,
после этого можно мнимую часть отделить
от вещественной:
(5)
Предавая
различные значения w
строим кривую, которая отображает мнимую
ось комплексной плоскости Р, т.е. границу
-разбиения
плоскости
(jw).
В связи с симметричной частью характеристик
относительно вещественной оси достаточно
построить кривую Д-разбиений
,
а затем дополнить ее зеркальным
отображением относительно вещественной
оси. Нас интересует практически
Д-разбиение не всей комплексной плоскости
,
а лишь ее действительные оси, которой
отвечают действительные значения
.
Рассмотрим
границу Д-разбиений плоскости
=x(w)+jy(w)
-
штриховка
Отображение
мнимой оси комплексной плоскости корней
Р –есть кривая Д-разбиения на комплексной
плоскости параметра
,
вся плоскость
разбивается на области. Для всех
,
лежащих внутри каждой области, все
полиномы будут иметь одинаковое число
корней слева от мнимой оси. После того,
как найдена граница Д-разбиений необходимо
наметить предполагаемую область
устойчивости, для этого определим в
какой области количество корней слева
от мнимой оси наибольшее. Для этого
применяют правило штриховки Неймарка:
При изменении
в плоскости Р мнимая ось проходит снизу
вверх, при этом левая полуплоскость
остается слева. Такому движению по
мнимой оси соответствует движение по
границе Д-разбиения плоскости
,
которую штрихуют слева по обходу при
изменении
.
Тогда
при переходе через кривую заштрихованной
стороной незаштрихованную теряется
корень слева от мнимой оси. Если штриховка
двойная, то мнимую ось пересекают два
корня, т.о. часть плоскости, в сторону
которой направлены штрихи являются
отображением левой полуплоскости корней
и может рассматриваться как предполагаемая
область устойчивости. Т.к.
- вещественная величина, то рассматриваются
лишь те отрезки вещественной оси, которые
лежат в области, окруженной внутренней
штриховкой (
).
Чтобы установить является ли (
)
– областью устойчивости выбирают из
этой области какое-либо значение
1
и проверяют устойчивость по какому-либо
критерию устойчивости. Т.к. число корней
слева от мнимой оси одно и тоже для
,
лежащих внутри (
),
то если система является устойчивой
для
1,
то она будет устойчивой и для остальных
,
лежащих в этой области.
Д-разбиение плоскости двух параметров
Если
надо проверить разбиение параметров
и к на устойчивость системы и елси эти
параметры входят линейно в хар-кое ур,
то его можно записать:
кР(р)+
Q(p)+R(p)=0 (6)
Q(p),
R(p),
P(p)
– полиномы, коэффициенты которых не
зависят
и к.
Выделяем
области устойчивости в плоскости
и к, для этого строим кривую Д-разбиения,
полагаяjw
корнем уравнения (6).
kP(jw)+
Q(jw)+R(jw)=0 (7)
Расположим полиномы на вещественную и мнимую части
(8)
Подставляя (8) в (7) и группируя вещественные и мнимые части, получаем:
kP1(w)+Q1(w)+R1(w)+j[kP2(w)+
Q2(w)+R2(w)]=0 (9)
Комплексная величина равна 0 только тогда, когда одновременно вещественная и мнимая части равны 0, поэтому вместо (9) запишем два уравнения:
(10)
Эта
система позволяет определить kx
и
x
при некоторой w=wx.
Значения kx
и
x
на плоскости
и к определяют точку, которая принадлежит
кривой Д-разбиения. Чтобы найти все
точки этой кривой следует решить методом
определителей уравнения (10) относительно
к и
.
(11)
(12)
-
главный определитель
(13)
(14)
(15)
При
для каждого значенияw
уравнения (11), (15) можно определить
и к и, следовательно, построить в плоскости
,
к границу Д-разбиения. К откладывается
по оси абсцисс,
по оси ординат. Если поменять местами
столбцы определителя, то надо изменить
обозначения осей на плоскости (к,
).
Уравнения (11), (12) справедливы только для тех w, при которых (10) линейно-независимы и совместны.
При
w=0
и w=бесконечности
уравнение (10) перестают быть
линейно-независимыми, т.к.
-
является непрерывной функциейw
и его знак может меняться при w=0
и w=бесконечности,
в этом случае числитель и знаменатель
в (11) и (12) одновременно могут оказаться
=0 или бесконечности. Поэтому граница
Д-разбиения по 2 вещественным параметрам,
которая строится по ур. (11) и (12) изменением
выполняется особыми прямыми, уравнения
которых получаются подставкой в (9)w=0
и w=
.
Наиболее просто уравнения особых прямых
могут быть получены: если свободный
член и коэффициент при старшем члене
не зависит от
и к.
То
=0, а0
получим уравнение особой прямой для
w=0,
приняв 0 коэффициент an
при старшем члене, найдем уравнение
особой прямой w=.
Если
указанные коэффициенты хар-го ур. зависят
от
и к, то особая прямая стремится к
и не вычерчивается.
Кривая
Д-разбиения плоскости двух параметров
не симметрична относительно вещественной
оси, но имеет совпадающие точки,
соответствующие значениям +w
и –w,
т.к. согласно (11) и (12)
и к – являются четными функциямиw,
а согласно (13) определитель
нечетная функцияw.
Поэтому достаточно построить кривую
Д-разбиений только для +w,
а для –w
она повторяется. Если главный определитель
=0, то это означает, что кривой Д-разбиения
не существует и все разбиения плоскости
осуществляется особыми кривыми.
После построения кривой Д-разбиения намечаем предполагаемую область устойчивости DN0, для этого применяем правило штриховки.
Если
к – откладывается по оси абсцисс, а
- по ординате то, двигаясь по Д-кривой
от
,
штрихуем левую сторону Д-кривой при
и правую при
.
При движение вдоль кривой Д-разбиения
знак
меняется
только при пересечении с особыми прямыми,
т.е. приw=0,
w=
,w=w1.
Т.к.
кривая Д-разбиения при изменении
проходится
дважды, то ее и штрихуют дважды, оба раза
с одной стороны. Т.к. знак
при
изменении знакаw0
меняется на обратный.
Штриховка особых прямых (одновременно заштрихованные и незаштрихованные стороны Д-кривой и особой прямой должны располагаться навстречу друг другу).
Особые
прямые для w=0
и w=штрихуют
одинарной штриховкой.
Аособые прямые, которые получаются дляw=w1,
для которых
системы изменяет знак и (10) становится
линейно-зависимым имеют двойную
штриховку.
Получив
в плоскости (,
к) области с одинаковым числом корней
слева от мнимой оси определяют область
с наибольшим числом корней слева от
мнимой оси. Выбирают в этой области
какую-либо точку и проверяя на устойчивость
исходное уравнение, в которое вместо
и к подставляют координаты этой точки,
выясняют: существует или нет область
устойчивости.
Вопросы самоконтроля:
Представьте порядок построения Д-разбиения плоскости одного комплексного числа.
Назовите правило штриховки Неймарка.
Назовите правила построения границы Д-разбиения в плоскости двух параметров.
Дайте определение штриховки границы Д-разбиения в плоскости двух параметров.
Список литературы по теме лекции:
Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория CAP, М.,2005
Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование, М.,2003