Тема 3. Частотные характеристики звеньев и систем Лекция 12.

Цель лекции: изучение комплексного числа и его представление на плоскости; изучение порядка построения амплитудной частотной характеристики.

Задачи лекции:

1. Рассмотреть математическое обоснование порядка построения амплитудно-частотной характеристики звеньев САУ.

Желаемый результат:

Студенты должны знать:

• Комплексное число и его представление на плоскости;

• Математическое обоснование амплитудно-частотных характеристик типовых звеньев САУ.

Учебный материал Частотные характеристики звеньев сау

1. Комплексное число и его представление на плоскости.

1. полярная

М()

2. показательная М=

3. комплексная, тригонометрическая форма М=

4. алгебраическая форма М=a+jb=Re+jI_m

Формы Эйлера:

M

Если на вход звена или системы подавать синусоидальные колебания с постоянной амплитудой и частотой то после затухания переходных процессов на выходе также возникает синусоидальные колебанияс той же частотой, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний на угол(амплитуда входных колебаний,амплитуда выходных колебаний,круговая частота,отставание выходного сигнала относительно входного). На комплексной плоскости входная величинадля каждого значения времениt₁ определяется вектором , проведенного из начала координат под углом.

(*)

2. Рассмотрим реакцию линейного звена на гармоническое возмущение при условии, что корни характеристического уравнения звена отрицательные, т.е. переходный процесс, зависящий от общего решения однородного диф.ур. является затухающим, как следует из рисунка (*) действительная часть гармонической входной величины, представленной в комплексной форме , а, тогда гармоническое возмущение в комплексной тригонометрической форме запишется в виде:.

Т.к. согласно формуле Эйлера можем записать: , то имеем входную величину в комплекс показательной форме.

, а выходная величина .

Если начальная фаза входной величины на равна 0, то

Запишем диф.ур. звена в операторной форме:

(1)

Подставим в уравнение (1) значения входных и выходных величин причем при подстановке гармонических функций заменим оператор p на j:

(2)

Из равнения (2) определим передаточную функцию звена.

(3)

Отношение выходной величины системы (или звена) к входной величине называется амплитудо-фазовой характеристикой системы. Модуль амплитудо-фазовой характеристики системы или отношение амплитуды выхода и входа величин функции их частоты , называется амплитудо-частотной характеристикой системы.

Зависимость разности фаз входных и выходных колебаний от частоты называется фазо-частотной характеристикой звена и является аргументом амплитудо-фазовой характеристики. Амплитудо-фазовая характеристики не зависит от времени, в этом заключается ее отличие от переходной функции (временной характеристики) h(t).

Если временная характеристика определяет поведение системы в переходном процессе, то АФХ выражает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различиных частотах. Хотя АФХ отображает только установившиеся процессы в системе она вполне определяет ее и динамические свойства, подобно временной характеристике и диф.ур.

Диф.ур. САУ в общем случае имеет вид:

(4)

где и- выходная и входная величины звена в отношениях от состояния звена, а_n и b_m – постоянные коэффициенты, определяемые конструктивными особенностями и параметрами настойки звена.

Тогда уравнение (4) перепишем в виде:

(5)

Из (5) определяем АФХ системы

(6)

Но с другой стороны, перепишем уравнение (4) в операторной форме.

(7)

Определим его передаточную функцию.

(8)

Сравнивая (6) и (8) для получения АФХ системы или звена достаточно выражение передаточной функции заменить символ р на .

Рассмотрим полиномы и

Выделим в полиномах действительные и мнимые части:

, где

Таким образом полиномы представляют собой комплексные числа с R_e частями и мнимыми I_m, тогда АФХ запишется

(9)

Домножим числитель и знаменатель на сопряженный множитель , получим:

Выделим действительную и мнимую части:

(10)

получим

(11)

(12)

Используя (11) и (12) при изменении частоты отстроится графическое изображение АФХ на комплексной плоскости в координатах. Очевидно, что вещественная часть АФХ является четной функцией, т.к.входит в числитель и знаменатель только в четных степенях, т.е..

Т.о. точки АФХ соответствующие значениям имеют одну и ту же абсциссуU и равные по модулю, но разные по знаку ординаты VАФХ симметрична относительно действительной оси и достаточно построить ее только для значений от 0 до бесконечности, т.к. другая ветвь характеристики для от минус бесконечности до нуля является зеркальным отражением построенной части относительно действительной оси АФХ называется годограф вектора, изображающего на комплексной плоскости частотно-передаточную функциюW() при изменении от нуля до бесконечности.

Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФХ соответствующей частоте =модулю частотной передаточной функции и показывает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, изменяющихся с частотой. Угол между вектором и положительной вещественной полуосью, отсчитываемой против часовой стрелки =аргументу частотной передаточной функции при частотеи показывает сдвиг фаз выходного и входного сигналов звена при этой частоте.

Вопросы самоконтроля:

1. Понятие комплексного числа и представление его на плоскости.

2. Дать определение амплитудно-фазовой характеристики звена или системы.

3. Что показывает длина вектора, проведенного из начала координат на АФХ.

4. Что показывает угол между вектором и положительной вещественной полуосью.

Список литературы по теме лекции:

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория CAP, М.,2005

2. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование, М.,2003