Геометрія

Подібність просторових фігур

Перетворення фігури F називається п е р е т в о р е н ­ н я м п о д і б н о с т і, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюють себе в одну й ту саму кількість разів.

Як і на площині, перетворення подібності в просторі переводить прямі у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки — у відрізки і зберігає кути між півпрямими. Перетворення подібності переводить площини у площини.

Аналогічно гомотетії на площині визначається г о м о ­

площину, яка не проходить через центр гомотетії, у паралельну площину (або в себе, якщо k =1).

α A′

Вектори в просторі

Усі основні означення векторів у просторі залишаються такими самими, як означення векторів на площині.

Ко о р д и н а т а м и в е к т о р а A1 A2 , де A1 (x1 ; y1 ; z1 ),

A2 (x2 ; y2 ; z2 ), називають числа x2 −x1, y2 −y1, z2 −z1 .

364

Координати та вектори. Вектори в просторі

Вектори рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають відповідно рівні координати. Це дає підставу позначити вектор його координатами a(a1 ; a2 ; a3 ) або просто (a1 ; a2 ; a3 ).

0 = (0; 0; 0).

Дії над векторами в просторі позначають так само, як і на площині:

a(a1;a2;a3 ) +b (b1;b2;b3 ) = c (a1 +b1;a2 +b2;a3 +b3 );

ηa = (ηa1 ; ηa2 ; ηa3 ) .

Діють і геометричні правила: правило трикутника, правило паралелограма, правило многокутника.

Так само доводиться, що ηa = η a , а напрям вектора ηa збігається з напрямом a, якщо η > 0, і протилежний напряму a, якщо η< 0.

Зберігається поняття колінеарних векторів і його необхідна й достатня умова.

С к а л я р н и м д о б у т к о м в е к т о р і в (a1 ; a2 ; a3 )

і (b1 ; b2 ; b3 ) називається число a1b1 + a2b2 + a3b3 .

Має місце теорема, за якою скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між векторами:

a b = a b cosϕ.

Для того щоб два вектори були перпендикулярними, необхідно й достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю.

Кожний вектор у просторі можна єдиним способом розкласти за трьома координатними векторами e1, e2 і e3 (див. рисунок).

z

e3 (0; 0; 1)

365