Функції та графіки

Перетворення графіків функцій

1.Графіки функцій y = f(x) і y = −f(x) є симетричними відносно осі Ox.

2.Щоб побудувати графік функції y = kf(x) (k > 0), треба графік функції y = f(x) розтягнути від осі Ox в k разів, якщо k > 1, або стиснути його в k разів до осі Ox, якщо

0 < k < 1.

3.Щоб побудувати графік функції y = f(x) +n, треба графік функції y = f(x) перенести на n одиниць в напрямі осі Oy, якщо n > 0, або в протилежному напрямі, якщо n < 0.

4.Щоб побудувати графік функції y = f(x−m), треба графік функції y = f(x) перенести на m одиниць у напрямі осі Ox, якщо m > 0, або в протилежному напрямі, якщо m < 0.

На рисунках, поданих нижче, наведені приклади перетворення графіків.

91

Алгебра та елементарні функції

y

8y =2x2

2

5.Щоб побудувати графік функції y = f(x) , треба пам’ятати,що f(x) = f(x),коли f(x) 0,і f(x) = −f(x),

коли f(x) < 0.

Тобто ту частину графіка функції y = f(x) (рисунок

нижче зліва), де f(x) 0, треба залишити без змін, а ту час-

тину, де f(x) < 0,— замінити на симетричну відносно осі Ox

(рисунок справа­ ).

92

6.Щоб побудувати графік функції y = f( x ), треба ту частину графіка функції y = f(x) (рисунок нижче зліва), де x 0, залишити без змін і відобразити її симетрично відносно осі Oy. Ту частину графіка y = f(x), де x < 0, треба відкинути (рисунок справа).

Квадратична функція

К в а д р ат ним т р ич л е н о м називається многочлен виду ax2 + bx+ c, де x — змінна, a, b і c — деякі числа, причому a ≠ 0.

Ко р е н е м к в а д р ат н о го т р ич л е на називаєть-

ся таке значення змінної, яке перетворює квадратний три­ член на 0. Щоб знайти корені квадратного тричлена, треба розв’язати квадратне рівняння ax2 + bx+ c = 0.

93

Алгебра та елементарні функції

Теорема. Якщо x1 і x2 — корені квадратного тричлена ax2 +bx+c, то

ax2 +bx+c = a(x−x1 )(x−x2 ).

Приклади

1)2x2 +7x−4 = 0, D = 49+ 32 = 81,

x1 = 0,5; x2 = −4.

2x2 +7x−4 =2(x−0,5)(x+4) або 2x2 +7x−4 = (2x−1)(x+4).

2)Скоротити дріб.

яку можна задати формулою виду y = ax2 +bx+c, де x — незалежна змінна, a, b, c — довільні числа, причому a ≠ 0.

Графіки функцій y = ax2 +bx+c і y = ax2 — однакові параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням.

Будь-яку функцію y = ax2 +bx+c можна представити у вигляді y = a(x+m)2 −n, де m і n — деякі дійсні числа. А це означає, що графік функції y = ax2 +bx+c можна ді­ стати за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції y = ax2.

Приклад

y = −2x2 +12x−19;

−2x2 +12x−19 = −2(x2 −6x+9,5) =

=−2((x−3)2 −9+9,5) = −2((x−3)2 +0,5) =

=−2(x−3)2 −1.

94

Функції та графіки

Отже, щоб дістати графік функції y = −2x2 +12x−19, треба зробити з графіком функції y =2x2 такі перетворення:

1)відобразити симетрично осі Ox;

2)зробити паралельне перенесення на три одиничних відрізки в напрямі осі Ox;

3)зробити паралельне перенесення на один одиничний відрізок униз.

Зробимо всі ці перетворення й отримаємо графік функ-

ції y = −2x2 +12x−19:

При побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції.

1. Координати вершини параболи y = ax2 +bx+c:

Зручніше знаходити ординату вершини як значення функції, що відповідає значенню аргументу x = xв.

2.Точки перетину параболи з осями координат­ є такими: абсциса точки перетину параболи з віссю­ Oy дорівнює 0,

тоді y(0) = c, (0; c);

ордината точок перетину параболи з віссю­ Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне­ рівняння ax2 +bx+c = 0.

95

Алгебра та елементарні функції

Якщо це рівняння має два різних корені x1 і x2, графік перетинає вісь Ox у точках (x1 ; 0), (x2 ; 0).

Якщо це рівняння має один корінь (тобто D = 0), то цей

Якщо це рівняння не має коренів (D < 0), парабола не перетинає вісь Ox.

3.Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a.

Якщо a > 0, вітки параболи напрямлені вгору. Якщо a < 0 , вітки параболи напрямлені вниз.

4.Парабола є симетричною відносно прямої x = − b .

2a

На рисунках, поданих нижче, наведені ескізи розміщення параболи на координатній площині в деяких випад-

96

Функції та графіки

97

Алгебра та елементарні функції

Приклад

Побудувати графік функції y = −x2 +6x−8. a = −1 — віт­ ки параболи напрямлені вниз.

yв = y(xв ),  yв = y(3) = −9+18−8 =1.

Вершина: (3; 1).

Точка перетину з віссю Oу: y(0) = −8; (0; -8).

Точки перетину з віссю Ox: y = 0; −x2 +6x−8 = 0;

x2 −6x+8 = 0; x1 = 2, x2 = 4. (2; 0); (4; 0).

На прикладі цієї функції покажемо, як аналізувати її властивості.

1.D(y) = (−∞; +∞).

2.E(y) = (−∞; 1]; E(y) — множина значень функції, тобто множина всіх значень y.

3.y = 0 при x =2 і при x = 4.

4.Точки перетину графіка з осями координат­ . (0; -8); (2; 0); (4; 0).

5.y > 0 при x (2; 4); y < 0 при x (−∞; 2) (4; +∞).

6.Функція зростає при x (−∞; 3], функція спадає при x [3; +∞).

7.Найбільше значення функції — y(3) =1, найменшого значення функції немає.

98

Функції та графіки

Функції y= [x] та y= { x}

Розглянемо функції y =[x] і y ={ x}. y=[x] — ціла частина x

Ціла частина числа — це найбільше ціле число, яке не перевершує x.

На рисунку зображена функція y =[x]:

y

2

1

-1

-2

y={ x} — дробова частина x. { x} = x−[x]

Наприклад: {3,2} = 0,2;  {3} = 0;

На рисунку зображена функція y ={ x}:

99