Геометрія

Додекаедр Ікосаедр

Тіла обертання

Циліндр

К р у г о в и м ц и л і н д р о м називається тіло, яке складається з двох кругів, що не лежать в одній площині й суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів (див. рисунок). Круги називаються о с н о в а м и ц и л і н д р а, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів, — т в і р н и м и ц и л і н д р а.

O1

H

RO

334

Стереометрія. Тіла обертання

Основи циліндра рівні й лежать у паралельних пло­ щинах.

Твірні циліндра паралельні й рівні.

Бічна поверхня циліндра складається з його твірних, поверхня — з основ і бічної поверхні. Ра д і у с ц и л і н д р а — це радіус його основи. В и с о т а ц и л і н д р а — відстань між площинами його основ. Віссю циліндра називається пряма, яка проходить через центри основ. Вісь циліндра паралельна твірним. Циліндр називається п р я м и м, якщо ­його твірні перпендикулярні до площин основ. Прямий циліндр (далі — просто циліндр) можна дістати в результаті обертання прямокутника навколо сторони як осі.

У прямому циліндрі висота дорівнює твірній. Перерізом циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник. Дві його сторони — твірні циліндра, а дві інші — рівні й паралельні хорди основ. О с ь о в и й п е р е р і з — переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь.

Площина, паралельна осі циліндра, перпендикулярна до площин його основ (див. рисунок).

H

A N B

Відстанню від осі циліндра до площини перерізу, якщо ця площина паралельна осі циліндра, є перпендикуляр, проведений з точки O1, до хорди A1B1 (або з О до АВ).

Зверніть увагу: відрізок O1N1 є висотою, тобто бісектрисою й медіаною в рівнобедреному трикутнику A1O1B1, де

A1O1 = B1O1 = R (радіус циліндра).

Хорду АВ видно з центра нижньої основи під кутом АОВ, а з центра верхньої основи — під кутом AO1B.Відрізок O1N є бісектрисою, медіаною, висотою рівнобедренного AO1B,

335

Геометрія

а AOB є ортогональною проекцією AO1B на площу нижньої основи.

S AOB .

cos O1NO

Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, яке дорівнює колу основи (див. рисунок).

Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою S = CH =2πRH, де С — довжина­ кола основи, R — радіус циліндра, H — його висота.

Конус

К р у г о в и м к о н у с о м називається тіло, яке складається з круга — о с н о в и к о н у с а, точки, яка не лежить у площині цього круга, — в е р ш и н и к о н у с а і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються т в і р н и м и к о н у с а.

Конус називається п р я м и м (далі — просто «конус»), якщо пряма, що сполучає вершини конуса з центром основи, перпендикулярна до площини основи.

Прямий круговий конус можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання прямокутного­ трикутника навколо його катета як осі.

Ви с о т а ко н у с а — перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи.

Ві с с ю прямого кругового конуса називається пряма, яка містить його висоту.

336

Стереометрія. Тіла обертання

Зверніть увагу на рисунок нижче. Так звані «контурні твірні» SA i SB є дотичними до еліпса, який зображує основу конуса, точки A і B не є кінцями великої осі еліпса. Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину, — рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони є твірними конуса, а основою є хорда основи.

S

A O B

C

K D

Розглянемо переріз CSD. Він перетинає основу конуса по хорді CD.

Хорду CD видно з центра основи під кутом COD, а з вершини конуса — під кутом CSD.

Сам переріз — рівнобедрений CSD з основою CD, де SC = SD — твірні конуса. Його ортогональною проекцією на площину основи конуса є рівнобедрений COD з основою CD і OC = OD = R. Відрізок OK є бісектрисою, медіаною, висотою COD, відстанню від точки O до хорди CD. Відрізок SK є бісектрисою, медіаною, висотою CSD та відстанню від вершини конуса S до хорди CD. SKO є лінійним кутом двогранного кута між площиною перерізу й площиною

хилу твірної конуса до його основи.

Площа бічної поверхні конуса обчислюється за форму-

твірної конуса до його основи.

337