- •Передмова
- •АРИФМЕТИКА
- •Натуральні числа і дії над ними
- •Дії над натуральними числами
- •Числові та буквені вирази
- •Формули
- •Рівняння
- •Звичайні дроби
- •Порівняння звичайних дробів
- •Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками
- •Додавання і віднімання мішаних чисел з однаковими знаменниками
- •Десяткові дроби
- •Властивості десяткового дробу
- •Дії з десятковими дробами
- •Порівняння та округлення натуральних чисел і десяткових дробів
- •Порівняння
- •Округлення
- •Перетворення звичайного дробу на десятковий і навпаки
- •Середнє арифметичне
- •Відсотки
- •Масштаб
- •Діаграми
- •Числовий промінь
- •Подільність натуральних чисел
- •Дільники і кратні
- •Прості й складені числа
- •Степінь
- •Розкладання числа на прості множники
- •Найменше спільне кратне (НСК)
- •Дії над звичайними дробами
- •Основна властивість дробу
- •Зведення дробів до спільного знаменника
- •Порівняння, додавання та віднімання дробів
- •Перетворення звичайних дробів на десяткові
- •Множення звичайних дробів
- •Взаємно обернені числа
- •Ділення звичайних дробів
- •Основна властивість пропорції
- •Пряма та обернена пропорційність
- •Приклади розв’язування типових завдань
- •Рівняння
- •Задачі на дроби
- •Задачі на рух
- •Комбінаторні задачі
- •Задачі на знаходження частини від числа
- •Задачі на пряму та обернену пропорційність
- •Задачі на пропорційне ділення
- •Задачі на відсотки
- •Задачі на спільну роботу
- •Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •АЛГЕБРА ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ
- •Дійсні числа
- •Додатні та від’ємні числа
- •Множини чисел
- •Модуль числа
- •Порівняння чисел
- •Дії над дійсними числами
- •Вирази
- •Одночлени
- •Степінь з натуральним показником
- •Одночлен і його стандартний вигляд
- •Многочлени
- •Множення одночлена на многочлен
- •Множення многочлена на многочлен
- •Розкладання многочленів на множники
- •Формули скороченого множення
- •Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники
- •Раціональні вирази
- •Основна властивість дробу. Скорочення дробів
- •Додавання та віднімання дробів
- •Множення, ділення й піднесення до степеня дробів
- •Перетворення раціональних виразів
- •Корені. Ірраціональні вирази
- •Квадратний корень
- •Кoрінь n-го степеня та його властивості
- •Найпростіші перетворення радикалів
- •Узагальнення поняття степеня
- •Основнi означення
- •Властивості степеня з раціональним показником
- •Поняття степеня з ірраціональним показником
- •Логарифм числа
- •Властивості логарифмів
- •Модуль і його властивості
- •Властивості модуля
- •Функції та графіки
- •Лінійна функція
- •Обернена пропорційність
- •Функція y=x2
- •Властивості функцій
- •Перетворення графіків функцій
- •Квадратична функція
- •Екстремуми функції
- •Степенева функція
- •Показникова функція
- •Логарифмічна функція
- •Тригонометричні функції
- •Радіанна система вимірювання кутів і дуг
- •Тригонометричні функції числового аргументу
- •Знаки тригонометричних функцій
- •Періодичність тригонометричних функцій
- •Графіки тригонометричних функцій
- •Властивості тригонометричних функцій
- •Поняття про обернену функцію
- •Рівняння
- •Основні властивості рівнянь
- •Лінійні рівняння з одним невідомим
- •Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •Дробові раціональні рівняння
- •Квадратні рівняння
- •Рівняння, що зводяться до квадратних
- •Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь
- •Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь
- •Ірраціональні рівняння
- •Розв’язування логарифмічних рівнянь
- •Розв’язування рівнянь графічним способом
- •Системи рівнянь
- •Лінійне рівняння з двома невідомими
- •Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
- •Розв’язування систем рівнянь другого степеня
- •Приклади розв’язування систем тригонометричних рівнянь
- •Нерівності
- •Властивості числових нерівностей
- •НерівностІ з однією змінною
- •Числові проміжки
- •Властивості нерівностей зі змінними
- •Нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним
- •Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків
- •Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей
- •Розв’язування показникових нерівностей
- •Логарифмічні нерівності
- •Системи нерівностей з однією змінною
- •ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
- •Послідовності
- •Арифметична прогресія
- •Геометрична прогресія
- •Границя
- •Границя числової послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Основні теореми про границі числової послідовності
- •Границя функції
- •Основні теореми про границі функцій
- •Неперервність функції в точці
- •Основні властивості неперервних функцій
- •Метод інтервалів
- •Похідні елементарних функцій
- •Застосування похідної
- •Інтеграл і його застосування
- •Поняття первісної функції
- •Правила знаходження первісних
- •Таблиця первісних
- •Інтеграл
- •КОМБІНАТОРИКА. ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА
- •Елементи комбінаторики
- •Початки теорії ймовірностей
- •Основні поняття теорії ймовірностей
- •Вступ до статистики
- •Основні властивості найпростіших геометричних фігур
- •Суміжні й вертикальні кути
- •Властивості суміжних кутів
- •Властивості вертикальних кутів
- •Перпендикуляр
- •Паралельні прямі
- •Бісектриса
- •Висота, бісектриса, медіана трикутника
- •Рівнобедрений трикутник
- •Рівносторонній трикутник
- •Ознаки рівнобедреного трикутника
- •Сума кутів трикутника
- •Прямокутний трикутник
- •Коло
- •Геометричне місце точок
- •Пряма й обернена теореми
- •Доведення від супротивного
- •Приклади розв’язування типових задач
- •Чотирикутники
- •Паралелограм
- •Прямокутник
- •Ромб
- •Квадрат
- •Трапеція
- •Теорема Фалеса
- •Трикутники
- •Середня лінія трикутника
- •Теорема Піфагора
- •Перпендикуляр і похила
- •Нерівність трикутника
- •Співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника
- •Властивості руху
- •Симетрія відносно точки
- •Симетрія відносно прямої
- •Поворот
- •Паралельне перенесення та його властивості
- •Співнаправленість півпрямих
- •Властивості перетворення подібності
- •Властивості подібних фігур
- •Кути, пов’язані з колом
- •Кути, вписані в коло
- •Пропорційність відрізків хорд і січних кола
- •Вписані й описані чотирикутники
- •Розв’язування трикутників
- •Теорема косинусів
- •Теорема синусів
- •Розв’язування трикутників
- •Правильні многокутники
- •Довжина кола
- •Площі фігур
- •Площа паралелограма
- •Площа прямокутника
- •Площа ромба
- •Площа квадрата
- •Площа трикутника
- •Площа трапеції
- •Площа чотирикутника
- •Площа круга
- •Площі подібних фігур
- •Аксіоми стереометрії
- •Паралельність прямих і площини
- •Ознака паралельності прямих
- •Ознака паралельності прямої і площини
- •Ознака паралельності площин
- •Властивості паралельних площин
- •Зображення просторових фігур на площині
- •Перпендикулярність прямих і площин
- •Перпендикуляр і похила
- •Теорема про три перпендикуляри
- •Перпендикулярність площин
- •Відстань між мимобіжними прямими
- •Кут між мимобіжними прямими
- •Кут між прямою та площиною
- •Кут між площинами
- •Многогранники
- •Двогранний кут
- •Тригранний і многогранний кути
- •Многогранники
- •Тіла обертання
- •Конус
- •Зрізаний конус
- •Куля
- •Комбінації геометричних тіл
- •Циліндр, вписаний у кулю
- •Циліндр, описаний навколо кулі
- •Конус, вписаний у кулю
- •Куля, вписана в конус
- •Інші комбінації геометричних тіл
- •Описані кулі
- •Вписані кулі
- •Декартові координати на площині
- •Координатна площина
- •Координати середини відрізка
- •Відстань між точками
- •Рівняння кола
- •Рівняння прямої
- •Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса для будь-якого кута від 0° до 180°
- •Вектори на площині
- •Координати векторa
- •Додавання векторів
- •Множення вектора на число
- •Скалярний добуток векторів
- •Розкладання вектора за координатними осями
- •Декартові координати в просторі
- •Перетворення в просторі
- •Подібність просторових фігур
- •Вектори в просторі
- •Предметний покажчик
Границя
Формула суми нескінченної геометричної прогресії:
q |
|
<1; S = |
|
b1 |
. |
|
|||||
|
|
|
|||
|
|
1 |
−q |
||
|
Для розв’язання більшості задач на арифметичну й геометричну прогресії, а також комбінованих задач на прогресії зручно діяти так: усі дані задачі на арифметичну прогресію виразити через a1 і d (на геометричну — через b1 і q) і скласти рівняння або систему рівнянь за умовою задачі (або використовуючи властивості (*) і (**)).
Границя
Границя числової послідовності
Число a називається г р анице ю п о с лі до вн о с т і y1, y2, ..., yn, ..., якщо для будь-якого додатного числа ε існує таке натуральне число N = N(ε), що для всіх n > N виконується нерівність
yn −a <ε.
Позначеня: limyn = a або yn → a |
|
n→∞ . |
|
|
|||
n→∞ |
|
|
|
|
|||
Послідовність |
(yn ), n = 1, 2, ... називається н е с к ін - |
||
ч е нн о ма л о ю, |
якщо для будь-якого додатного числа ε |
існує натуральне число N таке, що для всіх n > N викону-
ється нерівність |
|
yn |
|
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Зверніть увагу: членами нескінченно малої послідов- |
|||||||
ності можуть бути дуже великі числа. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
100 |
|
Наприклад, |
|
послідовність |
100 |
n |
є нескінченно ма- |
||
|
n2 |
+1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
лою, але перші її члени є досить великими числами:
y = |
100100 |
; |
y = |
2 100100 |
і т. д. |
|
|
||||
1 |
2 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
185
елементи математичного аналізу
|
|
Теорема. Якщо limy |
= a,то послідовність (α |
|
) = (y −a) |
|
|
|
n→∞ |
n |
|
n |
n |
є нескінченно малою |
і |
навпаки: якщо послідовність |
||||
(α |
|
) = (y −a) є нескінченно малою, то limy = a. |
|
|
||
|
n |
n |
|
n→∞ n |
|
|
Такимчином,дістанемоеквівалентнеозначенняграниці числової послідовності: число a називається границею числової послідовності (yn ), якщо послідовність (αn ) = (yn −a) є нескінченно малою послідовністю.
Властивості нескінченно малих послідовностей
Теорема 1. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.
Послідовність (yn ) називається о б м е ж е н о ю, якщо існує таке число M > 0, що для всіх значень n = 1,2, ... виконується нерівність yn M.
Теорема 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності та обмеженої послідовності є нескінченно малою послідовністю.
Послідовність (yn ) називається |
н е с к інч е нн о ве - |
лико ю, якщо, яке б не було число |
M > 0, існує таке чис- |
ло |
|
N = N(M), |
що для всіх n > N виконується нерівність |
|||||
|
yn |
|
> M. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Позначення: lim(yn ) = ∞. |
|
|
|
||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 3. Якщо (yn ) є нескінченно великою числовою |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
послідовністю, |
то послідовність ( |
αn ) = |
є нескінченно |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
yn |
малою, і навпаки: якщо послідовність (αn ) є нескінченно малою числовою послідовністю і αn ≠ 0 для всіх натураль-
|
|
1 |
|
|
|
них n, то послідовність (y |
) = |
|
є нескінченно великою. |
||
|
|||||
n |
|
αn |
|
||
|
|
186
Границя
Основні теореми про границі числової послідовності
Теорема 1. Нехай послідовності (xn ) і (yn ) мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність (xn + yn ) має границю a+ b.
lim(xn |
+ yn ) = lim(xn ) + lim(yn ) = a+ b. |
|
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
Теорема 2. Нехай послідовності (xn ) і (yn ) мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність (xnyn ) має границю, яка дорівнює ab:
lim(xnyn ) = lim(xn ) lim(yn ) = a b. |
||
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
Наслідки
1) Сталиймножникможнавиноситизазнакграниці.Якщо
С — сonst і (xn ) |
має границю, то limCxn = Clim(xn ). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|||
2) Якщо |
lim(xn ) = a, а k — натуральне |
|
число, то |
||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim(xk ) = (limx |
)k = ak. |
|
|
|
|
|
|||||||||
n→∞ |
n |
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема 3. Нехай послідовності (xn ) і (yn ) мають |
|||||||||||||||
скінченні границі, які відповідно дорівнюють |
lim(xn ) = a, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim(yn ) = b, причому b ≠ 0. Тоді послідовність |
xn |
має скін- |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
yn |
||||
ченну границю, яка дорівнює |
: |
||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xn |
|
= |
limxn |
= |
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
n→∞ |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n→∞ |
y |
|
limy |
|
b |
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Послідовність називається |
|
н е с па д н о ю |
|
(н е зр о с- |
таю ч о ю), якщо для будь-якого n N виконується нерівність yn+1 yn (yn+1 yn ).
Неспадні та незростаючі послідовності називають м о -
н ото нними.
187
елементи математичного аналізу
Якщо значення членів монотонної послідовності (yn )
для будь-якого n N задовольняють |
строгу нерівність |
yn+1 > yn (yn+1 < yn ), то послідовність (yn ) |
називають з р о с- |
таю ч о ю (с па дн о ю). Зростаючі та спадні послідовності називають також с т р о го м о н ото нними.
Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність має границю.
Теорема 5. Якщо послідовність (xn ) має границю, то ця границя єдина.
Приклади границь послідовностей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−3+ |
44 |
|
|
|
||||||
|
n −3n2 + 44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) lim |
= lim |
n |
|
|
n2 |
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 7 |
|
|
||||||||||||||||||
n→∞ 6n2 −3n +7 |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 − |
|
+ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n2 |
|
|
|||||||||
|
lim |
|
1 |
−3+ |
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n2 |
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
n→∞ |
n |
|
|
= |
|
|
= − |
1 |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
7 |
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim |
6 − |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) lim |
1+2+…+ n |
|
= lim |
|
(n +1)n |
= lim |
n +1 |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n2 |
|
||||||||||||
n→∞ |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ 2n |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||
= lim |
|
|
+ |
|
|
|
|
= lim |
|
+ lim |
|
|
= |
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n→∞ 2 |
|
|
|
|
2n |
n→∞ 2 |
n→∞ |
2n 2 |
|
|
|||||||||||
Зверніть увагу на таку границю: |
|||||||||||||||||||||
|
|
1 n |
= e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число еєосновою натуральногологарифма.Позначення: loge a = lna. Число е є ірраціональним, його наближене значення e ≈ 2,7.
Показникова функція з основою е (y = ex ) називається
е кс п о н е н то ю.
188