елементи математичного аналізу

число серед утвореної множини і буде найбільшим­ (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку [a; b].

Дослідження властивостей функції і побудова її графіка

Для того щоб дослідити функцію f(x), треба:

1)знайти область визначення D(f);

2)знайти область значень E(f);

3)дізнатися про парність чи непарність функції f(x);

4)з’ясувати, чи є функція періодичною;

5)знайти нулі функції; точки перетину графіка з осями координат;

6)визначити проміжки, на яких функція f(x) зберігає знак;

7)визначити проміжки монотонності;

8)визначити точки екстремумів та екстремуми­ ;

9)визначити асимптоти графіка;

10)дослідити поведінку функції поблизу «особли­ ­вих» точок та при великих за модулем значеннях х;

11)побудувати ескіз графіка функції.

Інтеграл і його застосування

Поняття первісної функції

П е р в і с н о ю для даної функції y = f(x) на заданому проміжку (a; b) називається така функція F(x), що

F′(x) = f(x) для всіх x (a; b) .

Операція знаходження первісної F для даної функції y = f(x) називається і н т е г р у в­ анням.

198

Інтеграл і його застосування

Теорема 1. Будь-яка неперервна на відрізку [a; b] функція y = f(x) має первісну функцію­ .

Лема. Якщо F′(x) = 0 на деякому проміжку, то F(x) = C на цьому проміжку, де C — стала­ .

Теорема 2. Якщо на деякому проміжку функція F(x) є первісною для f(x), то на цьому проміжку первісною для f(x) буде також функція F(x) +C, де C — довільна стала.

Теорема 3. Будь-які дві первісні функції для однієї і тієї самої функції відрізняються одна від одної на сталий додаток.

Правила знаходження первісних

1.Якщо F(x) є первісною для f(x), а G(x) — первісною для g(x) , то F(x) +G(x) є первісною для f(x) + g(x) .

2.Якщо F(x) є первісною для f(x), а k — стале число, то kF(x) є первісною для kf(x).

3.Якщо F(x) є первісною для f(x), а k і b — сталі, при-

чому k ≠ 0, то 1 F(kx+b) є первісною для f(kx+b) .

k

Таблиця первісних

199

елементи математичного аналізу

Інтеграл

Нехай f(x) — неперервна функція, невід’ємна на відрізку [a; b]. Розіб’ємо відрізок [a; b] на n рівних частин точ-

Утворимо добутки f(x0 ) ∆x, f(x1 ) ∆x і так далі й знайдемо їх суму Sn = f(x0 ) ∆x+…+f(xn−1 ) ∆x.

b

Позначення: ∫ f(x)dx, де a — нижня межа інтегруван-

a

ня, b — верхня межа; функція y = f(x) — підінтегральна функція, вираз f(x)dx — підінтегральний вираз, x — змінна інтегрування.

b

Отже, limSn = ∫ f(x)dx.

n→∞

a

200

Інтеграл і його застосування

К р иволінійна т р ап е ц ія — це фігура, обмежена графіком неперервної і невід’ємної на відрізку [a; b] функції y = f(x), відрізком [a; b] і прямими x = a і x = b.

Площа такої криволінійної трапеції дорівнює­

aa

Властивості інтеграла

bb

2.∫kf(x)dx = k∫f(x)dx, де k   R.

aa

Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла

Нехай є яка-небудь фігура, обмежена графіками функцій f(x) і ϕ(x).Якщо обидві функції f(x) і ϕ(x) неперервні на відрізку [a; b],причому f(a) = ϕ(a) , f(b) = ϕ(b),а для всіх x (a; b) , f(x) > ϕ(x), то площа такої фігури дорівнюватиме

S = ∫b (f(x) −ϕ(x))dx.

a

201