Геометрія

A

Чотирикутники

Чо т и р и к у т н и к о м називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні­ лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються в е р ш и н а м и чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають, — с т о р о н а м и чотирикутника.

238

планіметрія. Чотирикутники

Вершини чотирикутника називаються с у с і д н і м и, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються п р о т и л е ж н и м и. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються

д і а г о н а л я м и.

Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються с у с і д н і м и с т о р о н а м и. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються п р о т и л е ж н и м и

ст о р о н а м и.

Пе р и м е т р чотирикутника — сума довжин­ усіх його сторін.

Чотирикутник називається о п у к л и м, ­якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону.

На рисунку нижче зліва ABCD — опуклий чотирикутник; AC, BD — його діагоналі. На рисунку справа KMPN — неопуклий чотирикутник; KP, MN — його діагоналі.

C K

B

D P

M

A N

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.

Паралелограм

П а р а л е л о г р а м — це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.

На рисунку ABCD — паралелограм. AB CD; BC AD.

BC

O

AD

239

Геометрія

Властивості паралелограма

Теорема 1. У паралелограма протилежні сторони рівні: AB = CD, BC = AD (див. вищенаведений рисунок). У паралелограма протилежні кути рівні: A = C, B = D.

Теорема 2. У паралелограмі кути, прилеглі до однієї сторони, в сумі дорівнюють 180°:

Теорема 4. Діагональ паралелограма поділяє його на два рівні трикутники.

На рисунку нижче зліва ABC = CDA. На рисунку справа ABD = CDB.

B C B C

A D A D

Теорема 5. Діагоналі паралелограма розбивають його на дві пари рівних трикутників.

На рисунку AOB = COD; BOC = DOA .

BC

O

AD

240

планіметрія. Чотирикутники

Ознаки паралелограма

Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм.

Теорема 2. Якщо в чотирикутнику дві сторони паралельні й рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.

Теорема 3. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.

Теорема 4. Якщо в чотирикутнику протилежні кути рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.

Теорема 5. Якщо в чотирикутнику кути, що є прилег­ лими до кожної із сторін, у сумі дорівнюють 180°, то цей чотирикутник — паралелограм.

Теорема 6. Якщо кожна діагональ поділяє чотирикутник на два рівні трикутники, то цей чотирикутник — паралелограм.

Кут між висотами паралелограма

В и с о т а п а р а л е л о г р а м а — це відрізок, перпенди-

кулярний до протилежних сторін паралелограма з кінцями на цих сторонах.

На рисунку h1 і h2 — висоти паралелограм­ a.

h1

h2

Найчастіше висоти опускають із вершин паралелограма. Із кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. Кут між ними дорівнюватиме куту паралелограма при сусідній вершині. На рисунку внизу зліва зображений кут між висотами паралелограма, опущеними з тупого кута, на рисунку справа — між висотами, опущеними з гострого кута­ :

241

Геометрія

h2

Властивості бісектрис кутів паралелограма

1.Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перпендику­ лярні.

2.Бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні або збігаються (якщо паралелограм — ромб).

3.Бісектриса кута паралелограма відокремлює від нього рівнобедрений трикутник.

На рисунку BM KD; BM AP; BM CF; ABP —

рівнобедрений; AB = BP; KCD — рівнобедрений, CK = CD.

B K P C

A F M D

Чотирикутник, що утворився при перетині бісектрис кутів паралелограма, — прямокутник. Якщо через точку перетину діагоналей паралелограма проведено пряму, то відрізок цієї прямої, який розташований між паралельними сторонами, ділиться в цій точці навпіл:

242