Стереометрія

Відстань між мимобіжними прямими

С п і л ьн и м п е р п е н д и к у л я р о м до двох мимобіж-

них прямих називається відрізок із кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них.

Теорема.  Дві мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр, і до того ж тільки один. Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі.

В і д с т а н н ю м і ж м и м о б і ж н и м и п р я м и м и на-

зивається довжина їхнього спільного перпендикуляра. Відстань між мимобіжними прямими знаходять:

як відстань між паралельними площинами, що проходять через ці прямі;

як відстань від однієї із цих прямих до площини, що паралельна їй і проходить через другу пряму.

Приклад

На рисунку ABCDA1B1C1D1 — куб з ребром а.

B1 C1

1)Відстань між DD1 і BC — a.

Cпільний перпендикуляр до цих мимобіжних прямих —

CD.

2)Відстань між C1C і BD — a 2 .

2

Cпільним перпендикуляром до С1С і BD є СО.

3)Відстань між AA1 і B1C — а. Спільним перпендикуляром до AA1 і B1C є A1B1.

4)Відстань між AD1 і B1C — a. Відстань між паралельними площинами — C1D1.

311

Геометрія

Кут між мимобіжними прямими

Дві прямі, що перетинаються, утворюють суміжні та вертикальні кути. Кутова міра меншого із суміжних кутів називається к у т о м м і ж п р я м и м и. Кут між перпендикулярними прямими дорівнює 90° за означенням.

Кут між паралельними прямими вважаємо таким, що дорівнює нулю.

Ку т о м м і ж м и м о б і ж н и м и п р я м и м и назива-

ється кут між прямими, які перетинаються й паралельні даним мимобіжним прямим. Цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються.

Мимобіжні прямі, кут між якими дорівнює 90°, теж називаються п е р п е н д и к у л я р н и м и.

Отже, якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпендикулярна до будь-якої прямої на цій площині.

Теорема. Будь-яка пряма на площині перпендикулярна до проекції похилої на цю площину тоді й тільки тоді, коли ця пряма перпендикулярна до самої похилої. (У такому вигляді часто використовують теорему про три перпендику­

AD

2)На рисунку ABCD — ромб. Пряма MO перпендикулярна до його площини: MC BD.

312

Стереометрія

M

B C

O

AD

Кут між прямою та площиною

Ку т о м м і ж п р я м о ю т а п л о щ и н о ю називається кут між цією прямою і її проекцію (ортогональною) на площину.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між нею й площиною вважається таким, що дорівнює 90°,а між паралельними прямою та площиною — таким, що дорів­ нює 0°.

Кут між прямою та площиною і кут між цією прямою й перпендикуляром до площини в сумі дорівнюють 90°.

На рисунку α+β = 90°.

A

β

Bα

αC

Кут між площинами

Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює 0°.

Нехай дані площини перетинаються (див. рисунок). Проведемо площину, перпендикулярну до прямої їх перетину.­ Ця площина перетинає дані площини по двох прямих. Кут між цими прямими називається к у т о м м і ж

313

Геометрія

д а н и м и п л о щ и н а м и. Означений таким чином кут між площинами не залежить від вибору січної площини.

aα

c ϕ γ

βb

Побудувати кут між площинами можна ще такими способами.

1.Візьмемо довільну точку на прямій перетину площин (див. рисунок). Через цю точку проведемо перпендикуляри до прямої в кожній із площин. Кут між цими перпендикулярами буде кутом між даними площи­нами.

a c;  b c.

αa

Ac

βb

2.Беремо точку А, яка лежить тільки в одній із площин, які перетинаються (див. рисунок). Проведемо через точку А перпендикуляри до іншої площини і до прямої їх перетину. З’єднаємо основи перпендикулярів відрізком. Кут між цим відрізком і перпендикуляром до прямої перетину площин буде кутом між площинами.

AB c; AC β.

ABC — кут між площинами α і β.

αA

cB

β C

314