Алгебра та елементарні функції
7) |
log |
a |
p xp |
= log |
a |
x. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
8) |
loga x = |
logb |
x |
. |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
logb |
a |
|
|
|
9) |
logb a = |
|
1 |
. |
|
||||
|
loga b |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Модуль і його властивості |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
М одуль |
чи с ла — це відстань від 0 до точки, що |
|||||||
відповідає цьому числу на координатній прямій, виміряна в одиничних відрізках .
|
|
a |
|
|
a, якщо a 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−a, якщо a < 0. |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Отже, |
|
a |
|
0 для всіх значень a. |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
Властивості модуля |
|||||||||||||||||
1. |
|
a |
|
= |
|
−a |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
Якщо |
|
|
|
a |
|
b, то −b a b. |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
Якщо |
|
|
|
a |
|
|
|
a b; |
|||||||||
|
|
|
|
b, то |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a −b. |
4.Модуль суми скінченного числа дійсних чисел не перевищує суми модулів цих чисел:
a1 +…+an a1 +…+ an .
5. Модуль різниці не менший за різницю модулів цих чи-
сел:
a−b b − a .
6. Модуль |
добутку скінченного числа співмнож |
ни ків |
|||||
a1, ..., an |
дорівнює добутку модулів цих співмножників: |
||||||
|
a1 … an |
= |
a1 |
… |
an |
. |
|
78
Модуль і його властивості
7.Модуль частки дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника:
|
|
|
|
a |
|
= |
|
|
a |
|
, якщо |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
b ≠ 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Приклади розв’язування рівнянь та нерівностей, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що містять знак модуля |
||||
1) |
|
|
2x−5 |
|
= 4,6 |
2x−5 = 4,6, |
x = 4,8, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x−5 = −4,6; |
x = 0,2. |
||
|
Відповідь: x1 = 4,8, x2 = 0,2. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3− 2x 0, |
|
||
2) |
|
x2 − 2x |
|
= 3− 2x |
|
− 2x |
= 3 |
− 2x, |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x |
= 2x− 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x 1,5, |
x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
3 , |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x = |
x = − 3 , |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x = − 3 , |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 1. |
|
|
|
||||
|
|
|
x = 3, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x = 1; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Треба враховувати, що модуль будь-якого числа є чис- |
|||||||||||||||||
лом невід’ємним, отже, корені |
3 і 3 є сторонніми. |
|||||||||||||||||
|
Відповідь: x1 = − 3 , x2 = 1. |
|
|
|||||||||||||||
3)x−1 4,2 −4,2 x−1 4,2 −3,2 x 5,2.
Відповідь: x [−3,2; 5,2].
4)x+ 2 6− 3x
|
6− 3x 0, |
|
x 2, |
|
|
|
|
|||
|
|
6− 3x 0, |
|
|
x 2, |
|
x 2, |
|
||
|
|
|
|
|
x 1. |
|||||
|
|
6− 3x, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x+ 2 |
|
|
x 1, |
|
1 |
x 2; |
|
|
|
|
|
3x− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x+ 2 |
|
x 4; |
|
|
|
|
|||
Відповідь: [1; + ∞).
79
Алгебра та елементарні функції
Складаючи першу сукупність, ми урахували, що модуль будь-якого числа є завжди число невід’ємне. Із цього випливає, що при тих значеннях x, коли права частина
єчислом недодатним, нерівність завжди виконується.
5)Дуже корисним у розв’язуванні завдань з модулем є спосіб поділення координатної прямої на такі інтервали, що в них можна визначити знак підмодульного виразу
йрозкрити знак модуля. x+1 + x−3 = 4.
Знайдемо, при яких значеннях х підмодульні вирази перетворюються на нуль:
x+1= 0; |
x−3 = 0; |
x1 = −1. |
x2 =3. |
Отже, розіб’ємо числову пряму на три інтервали й будемо розв’язувати рівняння на кожному з них окремо (див. рисунок).
I |
|
|
II |
|
|
III |
|
- 1 |
3 |
x |
|||||
Щоб визначити, який знак має на певному інтервалі кожний із підмодульних виразів, досить підставити в нього замість х довільне число з цього інтервалу.
І. x < −1.
Візьмемо, наприклад, x = −2, тоді x+1< 0 x+1 = −x−1,
x−3 < 0 x−3 =3−x.
Отже, маємо:
x < −1,
−x−1+3−x = 4;
x < −1, x < −1, На цьому інтервалі розв’язків
2x = −2; x = −1.
немає. { }.
ІI. −1 x <3.
Беремо x = 0, x+1> 0 x+1 = x+1; x−3 < 0 x−3 =3−x.
80