Алгебра та елементарні функції
Формули подвійного аргументу
sin2α =2sinαcosα; cos2α =2cos2 α−1; cos2α = cos2 α−sin2 α; cos2α =1−2sin2 α; tg2α = 12−tgtgα2 α .
Формули половинного аргументу
cos2 |
α |
= |
1+ cosα |
; |
|
sin2 |
|
α |
= |
|
1−cosα |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
tg2 |
α |
= |
1 |
−cosα |
; |
|
ctg2 |
α |
= |
1 |
+ cosα |
. |
||||||||
|
|
+ cosα |
|
|
|
|||||||||||||||
2 1 |
|
|
|
2 1 |
−cosα |
|||||||||||||||
Формули перетворення синуса і косинуса кута через тангенс половини цього кута
|
|
2tg |
|
α |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sinα = |
2 |
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|||||||
|
|
1+ tg2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
1−tg2 |
α |
|
||||||||||
cosα = |
2 |
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1+ tg2 |
|
α |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2tg |
α |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tgα = |
|
2 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
1−tg2 |
α |
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Знаки тригонометричних функцій
З означення тригонометричних функцій легко зробити висновок щодо знаків тригонометричних функцій у координатних чвертях:
108
Тригонометричні функції
+ |
y |
|
+ |
|
- |
y |
|
+ |
|
- |
y |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
- O |
|
- |
x |
- O |
|
+ |
+ O |
|
- |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знаки |
|
|
Знаки |
|
Знаки тангенса |
||||||||
|
синуса |
|
косинуса |
|
і котангенса |
|
||||||||
Зміна тригонометричних функцій при зростанні α від 0 до 2π
Зміну sinα, cosα, tgα, ctgα при зростанні α від 0 до 2π описано в табл. 2.
Позначення: 
— зростає; 
— спадає.
Таблиця 2
Функ |
І чверть |
|
ІІ чверть ІІІ чверть |
|
IV чверть |
||||
ція |
0 < α < |
π |
|
π |
< α < π π < α < |
3π |
|
3π |
< α <2π |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
||||
sinα 
cosα 
tgα
ctgα 
Кути
0 |
|
π |
|
π |
|
3π |
|
2π |
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
–1 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
–1 |
0 |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Не |
0 |
|
Не |
0 |
|||
існує |
існує |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Не |
0 |
|
Не |
0 |
|
Не |
||
існує |
|
існує |
|
існує |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Періодичність тригонометричних функцій
Функція y = f(x) називається п е р і о д и ч н о ю з періодом T ≠ 0, якщо для будь-якого x з області визначення функції числа x+T і x−T також належать області визначення й виконується умова: f(x−T) = f(x) = f(x+T).
Якщо T — період функції y = f(x), то всі числа виду nT, де n Z, n ≠ 0, також є періодами функції.
Щоб побудувати графік періодичної функції з періодом T, достатньо побудувати графік на відрізку завдовжки T,
109
Алгебра та елементарні функції
а потім зробити паралельне перенесення одержаного графіка на відстані nT вправо і вліво вздовж осі Ox (n Z).
Тригонометричні функції є періодичними. Найменшим
додатним періодом функцій |
y = sinx і y = cosx є 2π. |
Найменшим додатним періодом функцій y = tgx і y = ctgx |
|
є число π. |
|
Отже: |
|
sin(2πn+α) = sinα; |
cos(2πn+α) = cosα; |
tg(πn+α) = tgα; |
ctg(πn+α) = ctgα. |
Теорема. Якщо функція f(x) є періодичною і має період T, то функція Af(kx+b), де A, k, b — деякі числа, а k ≠ 0,
теж є періодичною, період її дорівнює |
|
T |
. |
|
|
||||||||
|
k |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
2π |
|
||
Так, періодом функції |
y = sin 3x− |
|
|
|
є число |
|
, періо- |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|||
|
|
x |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дом функції y =2tg |
− |
|
+ |
|
|
є число 2π. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Графіки тригонометричних функцій
Для побудування графіків тригонометричних функцій візьмемо π ≈3. Побудуємо графік функції y = sinx (див. рисунок).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y = sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
−3π |
−2π |
−π |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
2π |
|
|
|
|
|
3π |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
5π |
|
|
|
− |
3π |
|
|
− |
π |
|
|
O π |
|
|
|
3π |
|
|
|
5π |
|
x |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
-1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ця крива називається с ин усоїдо ю. |
|
||||||
Графік |
функції |
y = cosx можна дістати |
з графіка |
||||
функції y = sinx паралельним перенесенням |
його влі- |
||||||
во вздовж осі Ox на |
π |
одиниць. Це випливає з формули |
|||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
π |
|
|
|
|
|
cosx = sin x+ |
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
110
|
|
|
Властивості тригонометричних функцій |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Властивості |
|
|
|
|
|
|
Функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
з/п |
(n Z) |
f(x) = sinx |
|
|
f(x) = cosx |
|
|
|
f(x) = tgx |
|
f(x) = ctgx |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
визначення |
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
− |
|
+πn; |
|
|
|
+πn |
(πn; π+πn) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
Область |
[−1; 1] |
|
|
|
[−1; 1] |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||||
|
значень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Парність або |
Непарна |
|
|
|
Парна |
|
|
|
|
Непарна |
|
|
Непарна |
|
|
|
|||||||||||||
|
непарність |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Період |
2π |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
|
|
Точки пере- |
|
|
|
|
π |
+πn; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+πn; 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5 |
тину графіка |
(πn; 0) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(πn; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
з віссю Ox |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тригонометр |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точки пере- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
тину графіка |
(0; 0) |
|
|
|
|
(0; 1) |
|
|
|
|
|
(0; 0) |
|
|
|
|
Немає |
|
|
|
|||||||||
|
|
з віссю Oy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проміжки, |
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
ичні |
||
|
|
на яких |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
111 |
7 |
f приймає |
(2πn; π+2πn) |
− |
|
+2πn; |
|
+2πn |
|
|
|
πn; |
|
|
+πn |
|
πn; |
|
|
+πn |
|
функції |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
додатні зна- |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
чення (f > 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закінення таблиці |
|||||
№ |
Властивості |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
з/п |
(n Z) |
|
|
|
|
f(x) = sinx |
|
|
f(x) = cosx |
|
|
|
f(x) = tgx |
|
f(x) = ctgx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проміжки, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на яких |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
3π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8 |
f приймає |
|
(−π+2πn; 2πn) |
|
|
+2πn; |
|
+2πn |
|
|
− |
|
+πn; |
πn |
|
− |
|
+πn; |
πn |
|||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
від’ємні зна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
чення (f < 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проміжки |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9 |
зростання |
− |
|
|
+ |
2πn; |
|
|
|
+2πn |
|
[−π+2πn; 2πn] |
|
|
− |
|
+πn; |
|
+πn |
|
|
Немає |
|
|||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проміжки |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10 |
спадання |
|
|
|
+2πn; |
|
|
|
|
+2πn |
|
|
[2πn; π+2πn] |
|
|
|
|
Немає |
|
|
(πn; π+πn) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
функції |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11 |
Точки |
|
|
|
|
− |
π |
+2πn |
|
|
π+2πn |
|
|
|
|
Немає |
|
|
|
Немає |
|
|||||||||||||
мінімуму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
Мінімуми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
Немає |
|
|
|
Немає |
|
||||||||
функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13 |
Точки |
|
|
|
|
|
|
π |
+2πn |
|
|
2πn |
|
|
|
|
|
Немає |
|
|
|
Немає |
|
|||||||||||
максимуму |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
Максимуми |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Немає |
|
|
|
Немає |
|
|||||||||
функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функції ніелементар та Алгебра
Тригонометричні функції
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y = cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
−3π |
−2π |
−π |
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
2π |
|
3π |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
5π |
|
|
− |
3π |
|
|
− |
π |
|
|
O π |
|
|
|
|
3π |
|
|
|
5π |
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Побудуємо графік функції y = tgx:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y = tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−2π |
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
2π |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3π |
|
|
|
− |
π |
|
|
O π |
|
|
|
3π |
|
|
|
5π |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зверніть увагу: значення x = π + πn, n Z, не входять до
2
області визначення функції y = tgx. Прямі x = π + πn, n Z,
2
єасимптотамиграфіка.Графікноситьназву т а н г е н с ої д и.
Графік функції y = ctgx легко дістати, |
скориставшись |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
формулою зведення ctgx = − tg x+ |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
= ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−2π |
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2π |
|
|
||||
|
− |
3π |
− |
π |
O |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
3π |
|
x |
||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розглянемо графік функції
y= −2sin 2x+ 2π .
3
113
Алгебра та елементарні функції
Запишемо функцію у вигляді
|
|
π |
|
|
y = −2sin 2 x+ |
|
. |
|
|
||
|
|
3 |
|
|
Із цього випливає, що графік цієї функції можемо ді |
||
стати, якщо побудувати: |
|||
1) |
графік функції y = sinx; |
||
2) |
графік функції |
y = sin2x, стискаючи графік функції |
|
|
y = sinx у два рази до оcі Oy; |
||
3)графік функції y =2sin2x, розтягуючи у два рази вздовж осі Oy графік функції y = sin2x;
4)графік функції y = −2sin2x,відображуючи графік функції y =2sin2x симетрично відносно осі Ox;
5)графік функції y = −2sin 2 x+ π ,паралельно перенося-
3 π влівовздовжосіOx.y = −2sin2x
3
На рисунку не показані поступові перетворення графіка, а тільки остаточний вигляд графіка функції
y= −2sin 2x+ 2π :
3
yy = −2sin 2x+ 2π
2 3
|
− π |
1 |
|
π |
|
−π |
|
|
π |
||
2 |
|
|
2 |
||
− 5π |
− π |
O |
π |
2π |
x |
6 |
3 |
|
6 |
3 |
|
-1
-2
Зверніть увагу: на практиці можна відразу побудувати
|
|
|
|
π |
|
графік функції y = −2sin2 |
x+ |
|
, якщо врахувати такі мір- |
||
|
|||||
кування: |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
1) |
графік матиме вигляд синусоїди; |
||||
2) |
точка графіка y = sinx |
з координатами (0; 0) перейде |
|||
вшуканому графіку в точку − π ; 0 ;
3
114