Координати та вектори. Вектори на площині

(η+µ)a = ηa +µa.

Для будь-яких двох векторів a і b і числа η

η(a +b ) = ηa +ηb.

Теорема 1. Абсолютна величина вектора ηa дорівнює η a . Напрям вектора ηa, якщо a ≠ 0, збігається з напрямом вектора a ,якщо η> 0, і протилежний напряму вектора a , якщо η< 0.

Приклад. На рисунку зображені вектори a , 2a і − 1 a:

2

Теорема 2. Два ненульові вектори a і b колінеарні тоді й тільки тоді, коли існує число η таке, що a = ηb.

Теорема 3. Ненульові вектори a(a1 ; a2 ) і b (b1 ; b2 ) колінеарні тоді й тільки тоді, коли їх відповідні координати пропорційні, тобто a1 = a2 .

b1 b2

Теорема 4. Якщо a і b — відмінні від нуля неколінеарні вектори, то будь-який вектор c можна записати у вигляді c = ηa +µb.

359

Геометрія

Кутом між ненульовими векторами AB і AC називається кут BAC. Кутом між будь-якими двома ненульовими векторами a і b називається кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок. Вважають, що кут між однаково напрямленими векторами дорівнює 0.

Теорема 1. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їхніх абсолютних величин на косинус кута між ни-

ми: a b = a b cosϕ (див. рисунок).

Теорема 2. Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює 0.

m ≠ 0;  n ≠ 0;  mn = 0 m n.

Розкладання вектора за координатними осями

Вектор називається о д и н и ч н и м, якщо його абсолютна величина дорівнює одиниці. Одиничні вектори, які мають напрями додатних координатних півосей, називаються

к о о р д и н а т н и м и в е к т о р а м и або о р т а м и (див. ри-

сунок).

Позначення: e1 (1; 0); e2 (0; 1) .

360