Похідна

П о х і д н о ю функції y = f(x) в точці x0 називається границя відношення приросту ∆y функції до приросту ∆x аргументу за умови, що границя існує, а приріст ∆x аргументу прямує до нуля, тобто

Функція y = f(x) в точці x0 називається д и ф е р е н ц і - й о в а н о ю, якщо в цій точці вона має похідну f′(x).

Якщо функція y = f(x) є диференційованою в кожній точці деякого інтервалу (a; b), то вона називається диференційованою на цьому інтервалі.

Теорема. Якщо функція y = f(x) в точці x0 є диференційованою, то вона в цій точці неперервна.

Похідні елементарних функцій

194

Похідна

похідні, то в цій точці функція y = f1 (x) f2 (x) також має похідну, яка дорівнює­

y′= f1 (x) f2′(x) +f1′(x) f2 (x).

Наслідок. Якщо функція f(x) має похідну в точці x0 ,

Нехай функція f ставить у відповідність числу x число y, а функція g — числу y число z. Тоді функцію h, яка ставить у відповідність числу x число z, називають с к л а д е -

н о ю фу нк ц і є ю.

Позначення: h(x) = g(f(x)).

Зверніть увагу: область визначення функції g(f(x)) — це множина таких значень x з області визначення функції f, для яких f(x) належить області визначення функції g.

195

елементи математичного аналізу

Теорема 4. Якщо функція f має похідну в точці x0 , а функція g має похідну в точці y0 = f(x0 ), то складена функ-

ція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці x0 , причому h′(x0 ) = g′(f(x0 )) f′(x0 ).

Нехай функція f має похідну f′ в усіх точках проміжку (a; b) . Ця похідна, у свою чергу, є функцією від x. Якщо функція f′ діференційовна, то її похідну називають д р у-

го ю п охі д н о ю f і позначають f″.

Отже, f″= (f′)′.

Таким же чином дають означення похідної n-го порядку f(n) (x) .

Застосування похідної

Нехай функція f(x) визначена на проміжку (a; b)

і x0 (a; b).

Функція називається ­зр о с таю ч о ю в то чц і x0 , якщо існує інтервал (x0 −δ; x0 +δ), де δ > 0 , який містить-

Функція називається с па д н о ю в то чц і x0 , якщо існує інтервал (x0 −δ; x0 +δ), який міститься в проміжку (a; b) і є таким, що f(x) > f(x0 ) для будь-якого x з інтер-

точці проміжку (a; b) , то вона зростаюча (спадна) на цьому проміжку.

Теорема 1. Якщо функція f(x) в кожній точці інтервалу (a; b) має похідну f′(x) > 0 (f′(x) < 0), то функція зростає (спадає) на (a; b).

196

Похідна

Зверніть увагу:

1)Якщо функція f є неперервною в якомусь із кінців інтервалу (a; b) , то цю точку можна приєднати до інтервалу зростання (спадання).

2)Для розв’язування задач зручно користуватися таким твердженням: точки, у яких похідна дорівнює 0 або не існує, поділяють область визначення функції f на проміжки, у кожному з яких f′ зберігає незмінний знак.

Внутрішня точка області визначення функції, у якій похідна дорівнює нулю або не існує, називаються к р и т и ч -

н о ю то чко ю ­фу нк ц ії.

Внутрішня точка області визначення, у якій f′(x) = 0,

називається с тац іо нар н о ю то чко ю фу нк ц ії.

Теорема 2. Якщо функція f(x) у внутрішній точці області визначення має екстремум, то в цій точці похідна f′(x0 ), якщо вона існує, дорівнює нулю.

Теорема 3. Якщо функція f є неперервною в точці x0 ,

а f′(x) > 0 на інтервалі (a; x0 ) і f′(x) < 0 на інтервалі (x0 ; b), то точка x0 є точкою максимуму функції.

Теорема 4. Якщо функція f є неперервною в точці x0 ,

а f′(x) < 0 на інтервалі (a; x0 ) і f′(x) > 0 на інтервалі (x0 ; b) , то точка x0 є точкою мінімуму функції f.

Теорема 5. Нехай точка x0 є стаціонарною для функції f(x) і нехай в цій точці існує похідна другого порядку

f″(x) ≠ 0. Тоді, якщо f″(x) > 0, то x0 є точкою мінімуму і, якщо f″(x) < 0, то x0 є точкою максимуму функції f(x) .

Найбільше і найменше значення функції на відрізку [a; b]

Щобзнайтинайбільше(найменше)значеннянеперервної функції на відрізку [a; b], треба знайти всі локальні максимуми (мінімуми) і порівняти їх зі значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (­найменше)

197