елементи математичного аналізу

Послідовності

Розглянемо яку-небудь множину, що містить N0 дійсних чисел і кожний елемент якої відповідає одному з натуральних чисел від 1 до N0 , або нескінченну множину дійсних чисел, кожному елементу якої можна поставити у відповідність натуральне число. Такі числа можна записати в певному порядку. Кажуть, що вони утворюють п о с л і - д о в н і с т ь. Наприклад:

2; 4; 6; 8; ... — послідовність парних чисел;

послідовність парних чисел, більших від 10, але не більших, ніж 20. Тобто:

a1 = 12; a2 = 14; a3 = 16; a4 = 18; a5 = 20.

Послідовність можна задавати описом, таблицею. Найзручніший спосіб — це задати послідовність ф о р -

м ул о ю n- го ч л е на.

182

Послідовності

Наприклад, послідовність чисел, кратних 5, можна задати формулою an =5n.

Щоб знайти, наприклад, 20-й член послідовності, треба замість n підставити у формулу число 20:

a20 =5 20 =100.

Навпаки, щоб дізнатися, який номер має в цій послідовності число 80, треба скласти рівняння 80 = 5n, звідки n = 16, тобто an = 80.

У випадку рівняння 81= 5n робимо висновок, що числа 81 серед членів цієї послі­ ­дов­но­сті немає, тому що рівняння не має натуральних коренів.

Послідовність можна також задавати формулою, яка виражає будь-який член послідовності, починаючи з деякого, через один чи кілька попередніх.

Наприклад, нехай a1 =3, тоді an+1 =2an −1.

Послідовність називають з р о с т а ю ч о ю, якщо кожний її член, починаючи з другого, більший від попереднього. Послідовність називається с п а д н о ю, якщо кожний її член, починаючи з другого, менший від попереднього.

Арифметична прогресія

А р и ф м е т ичн о ю пр о г р е сі є ю називається послі-

довність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число. Це стале для даної послідовності число d називається р із -

нице ю ар и ф м е т ичн ої пр о г р е сії.

Арифметична прогресія буде зростаючою, якщо d > 0, і спадною, якщо d < 0.

Прогресію можна задати за допомогою першого члена a1 і різниці прогресії d, а можна — формулою n-го члена: an = a1 +d(n−1).

183

елементи математичного аналізу

Теорема 1. Будь-яка арифметична прогресія може бути задана формулою виду an = kn+ b, де k і b — деякі числа, і навпаки, послідовність, яка задана формулою виду an = kn+ b, де k і b — деякі числа, є арифметичною прогресією.

Теорема 2. Послідовність тоді й тільки тоді є арифметичною прогресією, якщо кожний її член, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх:

Формула суми перших n членів арифметичної прогресії:

довність відмінних від 0 чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число. Це стале для даної послідовності число q називають знам е ннико м г е о м е т р ичн ої пр о г р е сії.

Формула n-го члена геометричної прогресії­ :

bn = b1qn−1 .

Теорема. Послідовність тоді й тільки тоді є геометричною прогресією, якщо кожний її член, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх:

Формула суми n перших членів геометричної прогресії:

184