- •Передмова
- •АРИФМЕТИКА
- •Натуральні числа і дії над ними
- •Дії над натуральними числами
- •Числові та буквені вирази
- •Формули
- •Рівняння
- •Звичайні дроби
- •Порівняння звичайних дробів
- •Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками
- •Додавання і віднімання мішаних чисел з однаковими знаменниками
- •Десяткові дроби
- •Властивості десяткового дробу
- •Дії з десятковими дробами
- •Порівняння та округлення натуральних чисел і десяткових дробів
- •Порівняння
- •Округлення
- •Перетворення звичайного дробу на десятковий і навпаки
- •Середнє арифметичне
- •Відсотки
- •Масштаб
- •Діаграми
- •Числовий промінь
- •Подільність натуральних чисел
- •Дільники і кратні
- •Прості й складені числа
- •Степінь
- •Розкладання числа на прості множники
- •Найменше спільне кратне (НСК)
- •Дії над звичайними дробами
- •Основна властивість дробу
- •Зведення дробів до спільного знаменника
- •Порівняння, додавання та віднімання дробів
- •Перетворення звичайних дробів на десяткові
- •Множення звичайних дробів
- •Взаємно обернені числа
- •Ділення звичайних дробів
- •Основна властивість пропорції
- •Пряма та обернена пропорційність
- •Приклади розв’язування типових завдань
- •Рівняння
- •Задачі на дроби
- •Задачі на рух
- •Комбінаторні задачі
- •Задачі на знаходження частини від числа
- •Задачі на пряму та обернену пропорційність
- •Задачі на пропорційне ділення
- •Задачі на відсотки
- •Задачі на спільну роботу
- •Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •АЛГЕБРА ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ
- •Дійсні числа
- •Додатні та від’ємні числа
- •Множини чисел
- •Модуль числа
- •Порівняння чисел
- •Дії над дійсними числами
- •Вирази
- •Одночлени
- •Степінь з натуральним показником
- •Одночлен і його стандартний вигляд
- •Многочлени
- •Множення одночлена на многочлен
- •Множення многочлена на многочлен
- •Розкладання многочленів на множники
- •Формули скороченого множення
- •Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники
- •Раціональні вирази
- •Основна властивість дробу. Скорочення дробів
- •Додавання та віднімання дробів
- •Множення, ділення й піднесення до степеня дробів
- •Перетворення раціональних виразів
- •Корені. Ірраціональні вирази
- •Квадратний корень
- •Кoрінь n-го степеня та його властивості
- •Найпростіші перетворення радикалів
- •Узагальнення поняття степеня
- •Основнi означення
- •Властивості степеня з раціональним показником
- •Поняття степеня з ірраціональним показником
- •Логарифм числа
- •Властивості логарифмів
- •Модуль і його властивості
- •Властивості модуля
- •Функції та графіки
- •Лінійна функція
- •Обернена пропорційність
- •Функція y=x2
- •Властивості функцій
- •Перетворення графіків функцій
- •Квадратична функція
- •Екстремуми функції
- •Степенева функція
- •Показникова функція
- •Логарифмічна функція
- •Тригонометричні функції
- •Радіанна система вимірювання кутів і дуг
- •Тригонометричні функції числового аргументу
- •Знаки тригонометричних функцій
- •Періодичність тригонометричних функцій
- •Графіки тригонометричних функцій
- •Властивості тригонометричних функцій
- •Поняття про обернену функцію
- •Рівняння
- •Основні властивості рівнянь
- •Лінійні рівняння з одним невідомим
- •Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •Дробові раціональні рівняння
- •Квадратні рівняння
- •Рівняння, що зводяться до квадратних
- •Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь
- •Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь
- •Ірраціональні рівняння
- •Розв’язування логарифмічних рівнянь
- •Розв’язування рівнянь графічним способом
- •Системи рівнянь
- •Лінійне рівняння з двома невідомими
- •Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
- •Розв’язування систем рівнянь другого степеня
- •Приклади розв’язування систем тригонометричних рівнянь
- •Нерівності
- •Властивості числових нерівностей
- •НерівностІ з однією змінною
- •Числові проміжки
- •Властивості нерівностей зі змінними
- •Нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним
- •Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків
- •Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей
- •Розв’язування показникових нерівностей
- •Логарифмічні нерівності
- •Системи нерівностей з однією змінною
- •ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
- •Послідовності
- •Арифметична прогресія
- •Геометрична прогресія
- •Границя
- •Границя числової послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Основні теореми про границі числової послідовності
- •Границя функції
- •Основні теореми про границі функцій
- •Неперервність функції в точці
- •Основні властивості неперервних функцій
- •Метод інтервалів
- •Похідні елементарних функцій
- •Застосування похідної
- •Інтеграл і його застосування
- •Поняття первісної функції
- •Правила знаходження первісних
- •Таблиця первісних
- •Інтеграл
- •КОМБІНАТОРИКА. ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА
- •Елементи комбінаторики
- •Початки теорії ймовірностей
- •Основні поняття теорії ймовірностей
- •Вступ до статистики
- •Основні властивості найпростіших геометричних фігур
- •Суміжні й вертикальні кути
- •Властивості суміжних кутів
- •Властивості вертикальних кутів
- •Перпендикуляр
- •Паралельні прямі
- •Бісектриса
- •Висота, бісектриса, медіана трикутника
- •Рівнобедрений трикутник
- •Рівносторонній трикутник
- •Ознаки рівнобедреного трикутника
- •Сума кутів трикутника
- •Прямокутний трикутник
- •Коло
- •Геометричне місце точок
- •Пряма й обернена теореми
- •Доведення від супротивного
- •Приклади розв’язування типових задач
- •Чотирикутники
- •Паралелограм
- •Прямокутник
- •Ромб
- •Квадрат
- •Трапеція
- •Теорема Фалеса
- •Трикутники
- •Середня лінія трикутника
- •Теорема Піфагора
- •Перпендикуляр і похила
- •Нерівність трикутника
- •Співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника
- •Властивості руху
- •Симетрія відносно точки
- •Симетрія відносно прямої
- •Поворот
- •Паралельне перенесення та його властивості
- •Співнаправленість півпрямих
- •Властивості перетворення подібності
- •Властивості подібних фігур
- •Кути, пов’язані з колом
- •Кути, вписані в коло
- •Пропорційність відрізків хорд і січних кола
- •Вписані й описані чотирикутники
- •Розв’язування трикутників
- •Теорема косинусів
- •Теорема синусів
- •Розв’язування трикутників
- •Правильні многокутники
- •Довжина кола
- •Площі фігур
- •Площа паралелограма
- •Площа прямокутника
- •Площа ромба
- •Площа квадрата
- •Площа трикутника
- •Площа трапеції
- •Площа чотирикутника
- •Площа круга
- •Площі подібних фігур
- •Аксіоми стереометрії
- •Паралельність прямих і площини
- •Ознака паралельності прямих
- •Ознака паралельності прямої і площини
- •Ознака паралельності площин
- •Властивості паралельних площин
- •Зображення просторових фігур на площині
- •Перпендикулярність прямих і площин
- •Перпендикуляр і похила
- •Теорема про три перпендикуляри
- •Перпендикулярність площин
- •Відстань між мимобіжними прямими
- •Кут між мимобіжними прямими
- •Кут між прямою та площиною
- •Кут між площинами
- •Многогранники
- •Двогранний кут
- •Тригранний і многогранний кути
- •Многогранники
- •Тіла обертання
- •Конус
- •Зрізаний конус
- •Куля
- •Комбінації геометричних тіл
- •Циліндр, вписаний у кулю
- •Циліндр, описаний навколо кулі
- •Конус, вписаний у кулю
- •Куля, вписана в конус
- •Інші комбінації геометричних тіл
- •Описані кулі
- •Вписані кулі
- •Декартові координати на площині
- •Координатна площина
- •Координати середини відрізка
- •Відстань між точками
- •Рівняння кола
- •Рівняння прямої
- •Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса для будь-якого кута від 0° до 180°
- •Вектори на площині
- •Координати векторa
- •Додавання векторів
- •Множення вектора на число
- •Скалярний добуток векторів
- •Розкладання вектора за координатними осями
- •Декартові координати в просторі
- •Перетворення в просторі
- •Подібність просторових фігур
- •Вектори в просторі
- •Предметний покажчик
планіметрія. Площі фігур
Якщо через вершини правильного n-кутника провести дотичні до описаного навколо нього кола, отримаємо правильний n -кутник .
Якщо з’єднати через одну вершини правильного 2n-кутника, отримаємо правильний n-кутник.
Довжина кола
Теорема. Відношення довжини кола до його діаметра не залежить від кола, тобто є одним і тим самим числом для будь-яких двох кіл.
Це число позначається π.
l = π, де l — довжина кола, R — радіус.
2R
Отже, l =2πR або l = πd;
π— число ірраціональне, π ≈3,1416.
До в ж и н а д у г и к о л а, яка відповідає центральному
куту n°: l = πR n .
180
Площі фігур
Геометричну фігуру називають п р о с т о ю, якщо її можна розбити на скінченну кількість плоских трикутників.
Для простих фігур п л о щ а — це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:
•рівні фігури мають рівні площі;
•якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин;
•площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.
На рисунках, поданих нижче, зображені основні геометричні фігури; поруч даються формули їх площ.
283
Геометрія
Площа паралелограма
Площа паралелограма обчислюється за формулою S = ha, де h — висота, a — сторона, до якої проведена ця висота.
Оскільки SABCD |
= ha a = hb |
b (див. рисунок),то |
ha |
= |
b |
. |
hb |
|
|||||
|
|
|
|
a |
||
Із двох різних висот паралелограма більша та, яка опущена на меншу сторону.
B C B C
ha
α
A |
N a |
hb
b |
K |
D
O 
β
AD
|
|
|
|
|
|
|
|
AC = d1; BD = d2; |
||||||
|
|
|
S = absinα |
|
|
S = |
d1d2 sinβ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
SABCD = 2S ABD; |
SABCD = 2S ABC. |
||||||||||||
|
Трикутники AOB, BOC, COD, DOA мають рівну площу: |
|||||||||||||
|
S |
= S |
|
= S |
= S |
= |
d1d2 sinβ |
. |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
AOB |
BOC |
|
COD |
DOA |
8 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Площа прямокутника |
|
|
|
|
|
|
|||||||
S = ab; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S = |
1 |
d2 sinα; |
d = AC; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S =2R2 sinα, де R — радіус описаного |
||||||||||||||
кола, R = AO. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
C |
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
d O |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
A |
b |
|
D |
|||||
284
|
|
|
|
планіметрія. Площі фігур |
|
Площа ромба |
|
|
|
|
|
S = ha, S = a2 sinα. |
|
|
|
|
|
У ромбі висоти дорівнюють одна одній. |
|
||||
|
|
B |
|
N |
|
|
d2 |
r |
a |
|
|
|
α |
|
|||
A |
d1 |
O |
|
C |
|
h |
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
D |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
S = 2 d1d2 ; |
|
|
|
|
|
d1 = AC, d2 = BD; |
|
|
|
|
|
S = 2ar , де r — радіус вписаного в ромб кола. |
|||||
Площа квадрата |
|
|
|
|
|
S = a2 ; S = 1 d2. |
|
|
|
2 |
B |
a |
C |
Od
AD
Площа трикутника
S = 1 h a , де h — висота, a — сторона, до якої проведена
2
ця висота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки S |
= |
1 |
h a = |
1 |
h b = |
1 |
h c , |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
ABC |
|
|
2 a |
2 b |
2 c |
|||||
то h :h :h = |
1 |
: |
1 |
: |
1 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a b c |
a b |
c |
|
|
|
|
||||||
285
Геометрія
|
|
А |
|
|
|
b |
|
|
ha |
c |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
h |
c |
|
O hb γ |
В |
|
С |
|
|
|
||
|
|
|
a |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Висоти трикутника обернено пропорційні сторонам, на які вони опущені.
Зверніть увагу: більшій стороні трикутника відповідає менша висота, і навпаки.
S = 1 absinγ , S = 1 rP, де P — периметр трикутника,
22
r — радіус вписаного кола.
S = abc , R = abc , де R — радіус описаного кола.
4R 4S
S = p( p−a)( p−b)( p−c) , де p — півпериметр трикут-
ника, — ф о р м у л а Ге р о н а .
Площа прямокутного трикутника
S = 1 ab ; S = 1 c2 sin2α .
24
ac
α
b
Площа рівностороннього трикутника
S = a2 3 .
4
Властивості медіани трикутника
Медіана ділить трикутник на два рівновеликі (тобто такі, що мають однакову площу) трикутники.
286