АРИФМЕТИКА

Поставимо у відповідність кожній точці променя число, яке виражає відстань від 0 до цієї точки, виміряну в оди-

На числовому промені можуть бути позначені всі відомі нам числа. Довжина одиничного відрізка обирається залежно від того, які числа треба позначити. На рисунках нижче наведено приклади обирання довжини одиничного відрізка на числовому промені.

O

2)0 1 1 5 1 1 x

4 3 6 1 12

Одиничний відрізок — 0,01 см.

Подільність натуральних чисел

Дільники і кратні

Ді льнико м натурального числа а називають натуральне число, на яке а ділиться без ­остачі.

К р ат ним натуральному числу а називається натуральне число, яке ділиться на а без остачі.

Приклади

1) Число 12 має 6 дільників: 1, 2, 3, 4, 6, 12. (Зверніть увагу: 1 12 = 2 6 = 3 4 = 12.)

22

Подільність натуральних чисел

2)Запишемо п’ять перших чисел, кратних числу 7: 7, 14, 21, 28, 35.

(Зверніть увагу: 7 = 7 1, 14 = 7 2, 21= 7 3, 28 = 7 4, 35 = 7 5.)

Число 1 є дільником будь-якого натурального числа. Число 1 має лише один дільник — 1.

Усі інші натуральні числа мають не менше двох дільників: найменший із них — одиниця, найбільший — саме це число.

Кожне натуральне число має безліч кратних, найменшим із яких є саме це число.

Щоб одержати всі числа, кратні числу n, треба множити це число послідовно на всі натуральні числа. Нариклад, запишемо всі числа, кратні 9:  9, 18, 27, 36, ... Загальний вигляд числа, кратного 9: 9n, де n — довільне натуральне число.

Загальний вигляд числа b, яке при діленні на число а дає остачу r: b = an+ r , де n — довільне натуральне число,

r < a.

Числа, кратні 2, називаються п а р н и м и, а ті, що на 2 не діляться,— н е п а р н и м и.

Ознак а п оді льн о с т і на 2. На 2 діляться ті й тіль-

ки ті натуральні числа, запис яких закінчується парною цифрою (тобто 0, 2, 4, 6, 8).

Слова «ті й тільки ті» означають, що у даному випадку

єправильними такі два твердження.

1.Якщо запис числа закінчується парною цифрою, то це число ділиться на 2.

2.Якщо число ділиться на 2, то його запис закінчується парною цифрою.

Ознак а п оді льн о с т і на 10. На 10 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрою 0. (Аналогічні ознаки можна сформулювати для чисел

100, 1000 і т. д.)

Ознак а п оді льн о с т і на 5. На 5 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрами 0 або 5.

Ознак а п оді льн о с т і на 3. На 3 діляться ті й тіль-

ки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3.

23

АРИФМЕТИКА

Ознак а п оді льн о с т і на 9. На 9 діляться ті й тіль-

ки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9.

Ознак а п оді льн о с т і на 4(25). На 4 (25) ділять-

ся ті й тільки ті натуральні числа, двома останніми цифрами яких записано число, що ділиться на 4 (25).

Запис ab означає, що а кратне b.

Приклади

1)2739010 10, тому що остання цифра числа — 0; 3 256 041 не кратне 10 (остання цифра 1).

2)410565 5; 5370 5;

19 372 не кратне 5.

3) 624531 3, тому що сума цифр 6+ 2+ 4+ 5+ 3+1= 21, 21 3;

624 532 не кратне 3, тому що сума цифр — число 22 — не кратне 3.

4) 10872315 9, тому що сума цифр 1+ 0+ 8+7+ 2+ 3+

+1+ 5 = 27, 27 9.

5)342792384 4, тому що 84 4; 59072475 25, тому що 75 25.

Прості й складені числа

Натуральне число називається пр о с т им, якщо воно має тільки два різних дільники: одиницю й саме це число.

Число, яке має більше двох дільників, називається

с к ла де ним.

Число 1 має єдиний дільник — 1, тому не належить ні до простих, ні до складених ­чисел.

Приклади

1)Числа 2, 3, 11, 97 — прості.

2)Числа 4, 26, 81 — складені, тому що мають дільники крім 1 і самих себе: 4 2; 26 13; 81 3.

Усі прості числа, за винятком числа 2, непарні.

Простих чисел існує безліч. Найменше з них — 2, а найбільшого не існує. Досі не встановлена закономірність розташування простих чисел у натуральному ряді чисел.

24

Подільність натуральних чисел

Щоб визначити, чи є натуральне число а простим, треба спробувати знайти хоча б один його дільник, крім 1 і а, за допомогою ознак подільності. Якщо це не вдалося, треба шукати дільники а, поділяючи його на всі такі прості числа b, які відповідають умові b2 a.

Наприклад, розглянемо число 37. Воно не є кратним 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25.

Прості числа b, такі що b2 37,— 2, 3, 5.

На ці числа 37 не ділиться, 37 — просте число.

Степінь

Добуток n однакових множників, кожний із яких дорівнює а, називається n-м с т е п е н е м чи с ла а і записується an:

an = a… a,

n разів

де n — натуральне число.

Вираз an називається степенем, число a — основою степеня, число n — показником степеня­ .

Приклади

25 = 2 2 2 2 2 = 32;  (0,1)2 = 0,1 0,1= 0,01.

Розкладання числа на прості множники

Розкласти число на прості множники означає записати його у вигляді добутку простих чисел. Наприклад,

18 = 2 3 3.

Кожне складене число можна розкласти на прості множники єдиним способом (якщо не враховувати порядок множників). Розкладання зручно робити за такою схемою. Наприклад, візьмемо число 2100. Запишемо число 2100 і праворуч проведемо вертикальну риску. Найменше просте число 2.

Користуючись ознакою подільності на 2, встановлюємо, що 2100 2. Пишемо праворуч 2, а під числом 2100 — частку від ділення його на 2, тобто 1050.

25

АРИФМЕТИКА

Знову перевіряємо, чи кратне 1050 числу 2. Отримуємо тим же чином праворуч від риски ще одну «2», а ліворуч — число 525. Число 525 не є кратним 2. Беремо наступне просте число — 3 (можна користуватися таблицею простих чисел). Продовжуючи роботу за наданою схемою, отримуємо наведений вище запис.

Таким чином, 2100 = 2 2 3 5 5 7, або 2100 = 22 3 52 7.

Найбільший спільний дільник (НСД)

Найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з чисел a і b, називається найбі льш им спі льним ді льнико м чисел a і b і позначається НСД (a; b). НСД можна шукати для будь-якої кількості чисел. Для знаходження найбільшого спільного дільника кількох натуральних чисел треба розкласти ці числа на прості множники й знайти добуток спільних множників.

Наприклад:

12 = 2 2 3;  18 = 2 3 3; НСД (12; 18) = 2 3 = 6.

Якщо розкладання на прості множники записане з використанням степенів, треба знайти добуток степенів з однаковими основами з показниками, які є найменшими з використаних для запису чисел. Наприклад:

2100 = 22 3 52 7;  280 = 23 5 7; НСД (2100; 280) = 22 5 7 = 140.

Якщо всі дані числа кратні одному з них, це число буде найбільшим спільним дільником даних чисел.

26