І І спо сіб. Можна скористатися тригонометричним колом, якщо позначити на ньому відповідні розв’язкам рівняння точки й відібрати ті, що містяться в першій чверті.

Ірраціональні рівняння

Рівняння, у яких невідоме міститься під знаком кореня, називають і р р а ц і о н а л ьн и м и. Розв’язуючи ірраціональні рівняння, намагаються привести їх до вигляду:

n A(x) = B(x), або n A(x) = n B(x) , а потім піднести обидві

частини рівняння до n-го степеня. Але якщо піднести обидві частини рівняння до парного степеня, можуть з’явитися сторонні корені. Нариклад:

x= x−2, ОДЗ: x 0; x = x2 −4x+4,

x2 −5x+4 = 0, x1 = 1, x2 = 4.

4 = 4−2; 2 =2 — правильно.

Але якщо x =1, маємо 1 =1−2;

1≠ −1, тобто x =1 — сторонній корінь.

Доцільно розв’язувати ірраціональні рівняння одним із двох наведених способів.

І спо сіб Виконувати перетворення, не зважаючи на їх рівно-

сильність. Усі одержані корені перевірити. Зверніть увагу: для перевірки корінь треба підставляти тільки в умову, коли рівняння ще не зазнало ніяких перетворень.

При цьому способі розв’язання доцільно записати, при яких значеннях невідомого обидві частини рівняння мають зміст. Іноді в процесі розв’язування отримують сторонні корені, які не задовольняють ОДЗ. Але перевірка коренів за

141

Алгебра та елементарні функції

умовами ОДЗ не є достатньою. У наведеному вище прикладі сторонній корінь 1 задовольняє ОДЗ (1 0).

I I спо сіб

Можна розв’язувати ірраціональні рівняння, використовуючи тільки рівносильні переходи. Зручно користуватися такими твердженнями:

Приклади

1)x2 + 2x+10 = 2x−1

x2 + 2x+10 = 4x2 − 4x+1,

2x−1 0;

2) −9x2 + 3x− 6 = −6x− 24

−9x2 + 3x− 6 = −6x− 24,

−6x− 24 0;

9x2 − 9x−18 = 0, x2 − x− 2 = 0,x −4; x −4;

x = 2,

x = − x1 ,

x −4.

Розглянемо ще декілька прикладів розв­ ’язу­ ­вання ірраціональних рівнянь.

142

Рівняння

1. Відокремлювання кореня

x 46, x = 97;x2 −103x+ 582 = 0;

x = 6;

2.Ірраціональні рівняння, що зводяться до квадратних

Якщо рівняння містить вирази 2k A(x) і k A(x) , тоx =6.23 3

можна використати, що (2k A(x) )2 = k A(x) для тих зна-

чень х, при яких A(x) 0.

Введемо нову змінну 2k A(x) = y, y 0. Дістанемо k A(x) = y2.

Приклад

x+ 3 − 34 x+ 3 − 4 = 0,  ОДЗ: x −3.

143

Алгебра та елементарні функції

Нехай 4 x+3 = y, y 0. y2 −3y−4 = 0,

y1 = 4, y2 = −1 не задовольняє умову y 0.

4 x+3 = 4,

x+ 3 = 256; x = 253.

Відповідь: 253.

3.Заміна змінної

Приклад

3x2 +15x+2 x2 +5x+1 =2,

ОДЗ: x2 +5x+1 0.

Нехай x2 +5x+1 = y, y 0.

Тоді 3x2 +15x =3y2 −3.

Отже, 3y2 −3+2y =2,

3y2 +2y−5 = 0,

y1,2 = −2±6 64 ,

y1 =1, y2 0 не задовольняє умову y 0.

x2 +5x+1 =1, x2 +5x+1=1, x2 +5x = 0.

x = 0,

x = −5.

Відповідь: 0; –5.

4.Рівняння виду 3 A(x) ± 3 B(x) = C

Скористаємось тотожністю

(a±b)3 = a3 ±b3 ±3ab(a±b) .

Приклад

3 45+x − 3 x−16 =1.

Піднесемо обидві частини рівняння до третього степеня:

45+x−(x−16) −33 (45+x)(x−16) ×(3 45+x − 3 x−16 ) =1.

144

Рівняння

Треба знайти такі значення х, для яких 3 45+x − − 3 x−16 =1. Отже, маємо:

61−33 (45+x)(x−16) =1,

3 (45+x)(x−16) =20,

(45+x)(x−16) = 8000, x2 +29x−720−8000 = 0, x2 +29x−8720 = 0,

x = 80,x = −109.

Цей спосіб розв’язання потребує перевірки­ .

Перевірка x = 80.

3 45+80 − 3 80−16 =1;

5−4 =1 — правильно. x = −109.

3 45−109 − 3 −109−16 =1;

−4+5 =1 — правильно.

Відповідь: 80; –109.

Показникові рівняння

По к азнико вими р івняннями називають такі рівняння, у яких невідоме входить лише до показників степенів при сталих ­основах.

Розв’язування показникових рівнянь

1. Розв’язування зведенням до спільної ­основи

(2x−3 )x+4 = 0,5x 4x−4 ,

2x2 +x−12 =2−x 22x−8 ,

2x2+x−12 =2x−8 ,

x2 +x−12 = x−8, x2 = 4, x = ±2.

Відповідь: x1 = 2; x2 = -2.

145

Алгебра та елементарні функції

2.Показникові рівняння, що мають показники з однаковою буквеною частиною

Очевидно, що af(x)+C = aC af(x) , де C — const, a > 0. 1) 2 7x+1 −6 7x−1 −7x = 85.

Винесемозадужкиспільниймножниклівоїчастини 7x−1 :

7x−1 (2 72 −6−7) = 85, 7x−1 (98−13) = 85, 7x−1 =1,

x−1= 0,

x=1.

Відповідь: 1.

2)2 16x −3 24x−1 +7 42x−2 =120.

Зведемо всі степені до спільної основи 2.

2 24x −3 24x−1 +7 24x−4 =120, 24x−4 (2 24 −3 23 +7) =120, 24x−4 (32−24+7) =120,

24x−4 15 =120, 24x−4 = 8,

4x−4 =3,

4x =7, x =1,75.

Відповідь: 1,75.

3.Показникові рівняння, що зводяться до квадратних

3 81x −10 9x +3 = 0,

3 92x −10 9x +3 = 0.

Нехай 9x = y, y > 0.

22

Відповідь: 1 ; − 1 .

22

146

Рівняння

4. Однорідні показникові рівняння

6 25x −5 10x −4x = 0.

Зверніть увагу, що 25x =52x, 4x =22x, 10x =5x 2x. Отже,

6 52x −5 2x 5x −22x = 0.

Усі члени лівої частини цього рівняння мають степінь 2х, тобто рівняння однорідне. Поділимо обидві частини його на 22x ≠ 0:

Відповідь: 0.

5. Рівняння, які одночасно містять ax і a–x

2x +22−x =5.

Помножимо обидві частини рівняння на 2x ≠ 0:

22x +22 =5 2x.

Нехай 2x = y, y > 0.

6.Показникові рівняння, які містять обернені вирази

Зверніть увагу: в рівняннях можна зустріти вирази, до-

буток яких дорівнює 1, наприклад: 7−4 3 і 7+4 3; 9−4 5 і 9+4 5 і т. д.

Нехай ( 5+2 6 )x = y, y > 0.

147

Алгебра та елементарні функції

y+ 1 =10, y

y > 0, отже, на y можна помножити обидві частини рівняння.

y2 −10y+1= 0,

Відповідь: 2; -2.

7.Для розв’язування деяких рівнянь зручно використовувати монотонність показникової функції

1) 2x =3−x.

Очевидно, що x =1 є коренем рівняння. Функція y =2x є зростаючою, а функція y =3−x — спадна. Отже, рівняння не може мати більш ніж один корінь.

Відповідь: 1.

цій, тобто є зростаючою на R. Права частина рівняння 1 — стала величина. Отже, рівняння не може мати більш ніж один корінь.

x =2 є коренем рівняння.

Відповідь: 2.

148