Функції та графіки

Об’єднуємо розв’язки, отримані на всіх трьох інтерва-

лах (I, II і III).

Відповідь: −1 x 3.

Функції та графіки

Фу нк ц іо на льн о ю ві дп о ві д ніс т ю або фу нк­ ц і є ю називають таку відповідність між двома змінними, коли кожному значенню однієї змінної відповідає одне значення другої змінної.

Першу змінну називають н е з а л е ж н о ю, або ар г у­ м е н то м функції, а другу — з а л е ж н о ю, або фу нк ц і є ю

від першої змінної. Усі значення, які приймає незалежна змінна, утворюють о блас т ь ви знач е ння фу­ нк ц ії.

Записують: y = f(x), де x — аргумент, y — функція. Область визначення позначають D(y) або D(f).

Приклади

1)y = x +2 ;  D(y) — множина всіх дійсних чисел, крім 3.

x −3

2) y = 2−x;  D(y) — множина всіх дійсних чисел, що не перевищують 2, тому що підкореневий вираз має бути невід’ємний.

Гр а фіко м функ ц ії називаєтьсямножинавсіхточок координатноїплощини,абсцисиякихдорівнюютьзначенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.

Функція може задаватися описом, таблицею, графіком, формулою тощо.

Область визначення функції зручно записувати за допомогою числових проміжків.

81

Алгебра та елементарні функції

Приклади

1)f(x) = 3x ; D(f) = (−∞; 7) (7; +∞);

x −7

2)f(x) = x−2; D(f) =[2; +∞);

3)f(x) = 8−x ; Df(x) = (−∞; 8];

4) f(x) = x −6 ; D(f) =[6; 9) (9; +∞).

x −9

Пояснимо, як ми знайшли область визначення­ в останньому прикладі. Функція визначена­ для тих і тільки тих значень x, які є розв’язками системи умов:

x−6 0,x−9 ≠ 0.

69 x

Отже, D(f) =[6; 9) (9; +∞).

Найчастіше числову функцію задають формулою. Якщо в такому випадку не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції вважають множину всіх значень аргументу, для яких ця формула має зміст.

Приклади

0 3 6 x

D(f) =[3; 6) (6; +∞).

82

Функції та графіки

Значення аргументу, при яких функція дорівнює 0, називаються н улями фу нк ц ії. Графік функції при таких значеннях аргументу перетинає вісь Ox.

Лінійна функція

Лінійною називається функція, яку можна задати формулою y = kx+b, де х — аргумент, а k і b — дані числа.

Графік лінійної функції — пряма. k називається к у­ то вим ко е фіціє н том прямої, яка є графіком лінійної функції. Кожна пряма на координатній площині, яка не є перпендикулярною до осі абсцис,— графік деякої лінійної функції.

Через дві точки можна провести одну й тільки одну пряму, тому для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його точок (дуже добре, якщо це будуть точки перетину графіка з осями). Точка перетину графіка з віссю абсцис має ординату 0, а точка перетину графіка з віссю ординат має абсцису 0.

y = kx+b перетинає вісь абсцис;

якщо k = 0, b ≠ 0, то графік функції — пряма, паралельна осі абсцис;

якщо b = 0, k = 0, графік функції збігається з віссю абсцис.

83

Алгебра та елементарні функції

Графіки двох лінійних функцій перетинаються, якщо їх кутові коефіцієнти різні, і паралельні, якщо їх кутові коефіцієнти ­однакові.

Можна знайти координати точки перетину прямих, не виконуючи побудови графіків функцій. Так, якщо прямі задані рівняннями y = k1x+ b1 і y = k2x+ b2, то досить розв’язати систему рівнянь:

y = k1x+b1 ,y = k2x+b2 .

Лінійну функцію, що задається формулою y = kx, де k ≠ 0, називають прям о ю пр о п о р ­ц ійніс т ю.

Графік прямої пропорційності — пряма, що проходить через початок координат. Якщо k > 0, графік лежить у I і III координатних чвертях, а якщо k < 0 — то у II і IV коорди-

2) y = − 1 x,  k = − 1 ,  x −2 .

22 y 1

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій

84