Геометрія

Ознака паралельності площин

Теорема  1.  Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.

a

b

α

a1

b1

β

Теорема  2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.

Зверніть увагу: прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині α може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а отже, і площині β, і при цьому площини α і β не будуть паралель­ ними.

β

a

α

Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок).

296

Стереометрія

a

α

β

Теорема  4.  Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини.

a

α

b

β

Теорема  5.  Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

A

α

β

Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні.

297

Геометрія

Властивості паралельних площин

Теорема 1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою площиною (див. рисунок), то прямі перетину паралельні.

На рисунку: α β;  a b.

γ

a

α

b

β

Теорема 2. Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами (див. рисунок), рів-

рисунок нижче) і є точка A, яка не лежить у жодній із цих

298

Стереометрія

площин. Через точку A проведено довільну пряму. Нехай X1 і X2 — точки перетину прямої з площинами α1 і α2 . Відношення довжини відрізків AX1 : AX2 не залежить від узятої прямої (AY1 : AY2 = AX1 : AX2).

A

α1 Y1 X1

Y

X2

α2 2

Зображення просторових фігур на площині

Для зображення просторових фігур на площині, як правило, користуються п а р а л е л ьн и м п р о е к т у в а н ­ н я м. Беремо довільну пряму h, яка перетинає площину рисунка α, проводимо через довільну точку A фігури пряму, паралельну h.

Точка A1 перетину цієї прямої з площиною рисунка буде зображенням точки A. Побудувавши таким чином зображення кожної точки фігури, дістанемо зображення самої фігури. Такий спосіб зображення фігури на площині і є паралельне проектування. У випадку, коли пряма h перпендикулярна до площини α, кажуть, що проведено о р ­ т о г о н а л ьн е п р о е к т у в а н н я.

Властивості паралельного проектування

1.Прямолінійні відрізки фігури зображуються на площині рисунка відрізками або точками. (Якщо відрізок, що проектується, паралельний напрямку проектування, він проектується в точку.)

299

Геометрія

2.Паралельні відрізки фігури зображуються на площині рисунка паралельними відрізками.

3.Відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається при паралельному проектуванні. Зверніть увагу: при паралельному проектуванні не збе-

рігаються ані довжина відрізка, ані величина кута.

Із властивостей паралельного проектування випливають такі твердження.

1.Будь-який трикутник може бути зображений довільним трикутником.

2.Якщо ABC проектується у A1B1C1,то медіани проектуються в медіани, середні лінії — у середні лінії, а висоти й бісектриси не проектуються у висоти й бісектриси. Проте основа проекції бісектриси поділяє сторону проекції трикутника у тому ж відношенні, у якому основа бісектриси поділяє сторону трикутника.

3.Паралелограм зображується паралелограмом, прямокутник, квадрат, ромб — паралелограмом загального виду.

4.Трапеція зображується трапецією. Рівнобіч­ ­ність і пря-

мокутність не зберігаються­ .

Зверніть увагу, як побудувати зображення висот рівнобічної трапеції: на рисунку — зображення­ трапеції, отримане при паралельному проектуванні.

B1 C1

A1 P1 K1 N1 D1

1)Будуємо C1K1 A1B1 .

2)Будуємо точку N1 — середину K1D1 .

3)C1N1 — висота A1B1C1D1.

4)B1P1 C1N1.

Отже, B1P1 і C1N1 — зображення висот рівнобічної трапеції ABCD, проекцією якої є трапеція A1B1C1D1.

300