- •Передмова
- •АРИФМЕТИКА
- •Натуральні числа і дії над ними
- •Дії над натуральними числами
- •Числові та буквені вирази
- •Формули
- •Рівняння
- •Звичайні дроби
- •Порівняння звичайних дробів
- •Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками
- •Додавання і віднімання мішаних чисел з однаковими знаменниками
- •Десяткові дроби
- •Властивості десяткового дробу
- •Дії з десятковими дробами
- •Порівняння та округлення натуральних чисел і десяткових дробів
- •Порівняння
- •Округлення
- •Перетворення звичайного дробу на десятковий і навпаки
- •Середнє арифметичне
- •Відсотки
- •Масштаб
- •Діаграми
- •Числовий промінь
- •Подільність натуральних чисел
- •Дільники і кратні
- •Прості й складені числа
- •Степінь
- •Розкладання числа на прості множники
- •Найменше спільне кратне (НСК)
- •Дії над звичайними дробами
- •Основна властивість дробу
- •Зведення дробів до спільного знаменника
- •Порівняння, додавання та віднімання дробів
- •Перетворення звичайних дробів на десяткові
- •Множення звичайних дробів
- •Взаємно обернені числа
- •Ділення звичайних дробів
- •Основна властивість пропорції
- •Пряма та обернена пропорційність
- •Приклади розв’язування типових завдань
- •Рівняння
- •Задачі на дроби
- •Задачі на рух
- •Комбінаторні задачі
- •Задачі на знаходження частини від числа
- •Задачі на пряму та обернену пропорційність
- •Задачі на пропорційне ділення
- •Задачі на відсотки
- •Задачі на спільну роботу
- •Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •АЛГЕБРА ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ
- •Дійсні числа
- •Додатні та від’ємні числа
- •Множини чисел
- •Модуль числа
- •Порівняння чисел
- •Дії над дійсними числами
- •Вирази
- •Одночлени
- •Степінь з натуральним показником
- •Одночлен і його стандартний вигляд
- •Многочлени
- •Множення одночлена на многочлен
- •Множення многочлена на многочлен
- •Розкладання многочленів на множники
- •Формули скороченого множення
- •Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники
- •Раціональні вирази
- •Основна властивість дробу. Скорочення дробів
- •Додавання та віднімання дробів
- •Множення, ділення й піднесення до степеня дробів
- •Перетворення раціональних виразів
- •Корені. Ірраціональні вирази
- •Квадратний корень
- •Кoрінь n-го степеня та його властивості
- •Найпростіші перетворення радикалів
- •Узагальнення поняття степеня
- •Основнi означення
- •Властивості степеня з раціональним показником
- •Поняття степеня з ірраціональним показником
- •Логарифм числа
- •Властивості логарифмів
- •Модуль і його властивості
- •Властивості модуля
- •Функції та графіки
- •Лінійна функція
- •Обернена пропорційність
- •Функція y=x2
- •Властивості функцій
- •Перетворення графіків функцій
- •Квадратична функція
- •Екстремуми функції
- •Степенева функція
- •Показникова функція
- •Логарифмічна функція
- •Тригонометричні функції
- •Радіанна система вимірювання кутів і дуг
- •Тригонометричні функції числового аргументу
- •Знаки тригонометричних функцій
- •Періодичність тригонометричних функцій
- •Графіки тригонометричних функцій
- •Властивості тригонометричних функцій
- •Поняття про обернену функцію
- •Рівняння
- •Основні властивості рівнянь
- •Лінійні рівняння з одним невідомим
- •Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •Дробові раціональні рівняння
- •Квадратні рівняння
- •Рівняння, що зводяться до квадратних
- •Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь
- •Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь
- •Ірраціональні рівняння
- •Розв’язування логарифмічних рівнянь
- •Розв’язування рівнянь графічним способом
- •Системи рівнянь
- •Лінійне рівняння з двома невідомими
- •Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
- •Розв’язування систем рівнянь другого степеня
- •Приклади розв’язування систем тригонометричних рівнянь
- •Нерівності
- •Властивості числових нерівностей
- •НерівностІ з однією змінною
- •Числові проміжки
- •Властивості нерівностей зі змінними
- •Нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним
- •Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків
- •Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей
- •Розв’язування показникових нерівностей
- •Логарифмічні нерівності
- •Системи нерівностей з однією змінною
- •ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
- •Послідовності
- •Арифметична прогресія
- •Геометрична прогресія
- •Границя
- •Границя числової послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Основні теореми про границі числової послідовності
- •Границя функції
- •Основні теореми про границі функцій
- •Неперервність функції в точці
- •Основні властивості неперервних функцій
- •Метод інтервалів
- •Похідні елементарних функцій
- •Застосування похідної
- •Інтеграл і його застосування
- •Поняття первісної функції
- •Правила знаходження первісних
- •Таблиця первісних
- •Інтеграл
- •КОМБІНАТОРИКА. ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА
- •Елементи комбінаторики
- •Початки теорії ймовірностей
- •Основні поняття теорії ймовірностей
- •Вступ до статистики
- •Основні властивості найпростіших геометричних фігур
- •Суміжні й вертикальні кути
- •Властивості суміжних кутів
- •Властивості вертикальних кутів
- •Перпендикуляр
- •Паралельні прямі
- •Бісектриса
- •Висота, бісектриса, медіана трикутника
- •Рівнобедрений трикутник
- •Рівносторонній трикутник
- •Ознаки рівнобедреного трикутника
- •Сума кутів трикутника
- •Прямокутний трикутник
- •Коло
- •Геометричне місце точок
- •Пряма й обернена теореми
- •Доведення від супротивного
- •Приклади розв’язування типових задач
- •Чотирикутники
- •Паралелограм
- •Прямокутник
- •Ромб
- •Квадрат
- •Трапеція
- •Теорема Фалеса
- •Трикутники
- •Середня лінія трикутника
- •Теорема Піфагора
- •Перпендикуляр і похила
- •Нерівність трикутника
- •Співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника
- •Властивості руху
- •Симетрія відносно точки
- •Симетрія відносно прямої
- •Поворот
- •Паралельне перенесення та його властивості
- •Співнаправленість півпрямих
- •Властивості перетворення подібності
- •Властивості подібних фігур
- •Кути, пов’язані з колом
- •Кути, вписані в коло
- •Пропорційність відрізків хорд і січних кола
- •Вписані й описані чотирикутники
- •Розв’язування трикутників
- •Теорема косинусів
- •Теорема синусів
- •Розв’язування трикутників
- •Правильні многокутники
- •Довжина кола
- •Площі фігур
- •Площа паралелограма
- •Площа прямокутника
- •Площа ромба
- •Площа квадрата
- •Площа трикутника
- •Площа трапеції
- •Площа чотирикутника
- •Площа круга
- •Площі подібних фігур
- •Аксіоми стереометрії
- •Паралельність прямих і площини
- •Ознака паралельності прямих
- •Ознака паралельності прямої і площини
- •Ознака паралельності площин
- •Властивості паралельних площин
- •Зображення просторових фігур на площині
- •Перпендикулярність прямих і площин
- •Перпендикуляр і похила
- •Теорема про три перпендикуляри
- •Перпендикулярність площин
- •Відстань між мимобіжними прямими
- •Кут між мимобіжними прямими
- •Кут між прямою та площиною
- •Кут між площинами
- •Многогранники
- •Двогранний кут
- •Тригранний і многогранний кути
- •Многогранники
- •Тіла обертання
- •Конус
- •Зрізаний конус
- •Куля
- •Комбінації геометричних тіл
- •Циліндр, вписаний у кулю
- •Циліндр, описаний навколо кулі
- •Конус, вписаний у кулю
- •Куля, вписана в конус
- •Інші комбінації геометричних тіл
- •Описані кулі
- •Вписані кулі
- •Декартові координати на площині
- •Координатна площина
- •Координати середини відрізка
- •Відстань між точками
- •Рівняння кола
- •Рівняння прямої
- •Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса для будь-якого кута від 0° до 180°
- •Вектори на площині
- •Координати векторa
- •Додавання векторів
- •Множення вектора на число
- •Скалярний добуток векторів
- •Розкладання вектора за координатними осями
- •Декартові координати в просторі
- •Перетворення в просторі
- •Подібність просторових фігур
- •Вектори в просторі
- •Предметний покажчик
Нерівності
|
x 3, |
|
|
|
|
|
|
|
x 3, |
|
|
|
|
10x > 14; |
|
|
|
|||
x −5, |
x −5, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x 1; |
1 x < 3. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x < 3; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
1 |
3 |
x |
Відповідь: (− ∞; −5] [1; +∞).
Розв’язування Показникових нерівностей
В основі розв’язування показникових нерівностей лежить монотонність показникової функції, яка залежить від значенняоснови.Способирозв’язуванняаналогічніспособам розв’язування показникових рівнянь, але часто приводять до системи нерівностей, бо треба врахувати умову ax > 0.
Приклади
1) 4x −12 2x − 64 0.
Нехай 2x = y, |
y > 0. |
|
|
|
y2 −12y− 64 0 |
(y1 = 16; y2 = −4). |
|||
Дістанемо систему нерівностей: |
||||
y > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 16; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y −4. |
|
|
|
|
|
|
- 4 |
16 |
|
|
|
0 |
x |
|
y 16; 2x 16. |
|
|
|
|
Показникова функція y = 2x |
з основою 2 > 1 є зроста |
ючою на R. Отже, x 4.
Відповідь: [4; +∞).
175
Алгебра та елементарні функції
|
|
1 x2 −4x−1 |
|
1 x2 −4x−1 |
|
|
|
1 −2x+2 |
|
|
|
||||
2) |
|
|
|
9x−1; |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
1 |
|
|
||
|
Показниковафункція y = |
|
|
|
зосновою 0 < |
|
< 1 |
єспад |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
ною на R, тому дістанемо: |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 4x−1 −2x+ 2, x2 − 2x− 3 0,
−1 x 3.
Відповідь: [−1; 3].
Логарифмічні нерівності
Розв’язуючи логарифмічні нерівності, спираються на такі твердження.
1.Якщо a >1,то нерівність loga f(x) > loga g(x) рівносильна підвійній нерівності f(x) > g(x) > 0.
Це твердження можна записати у вигляді:
f(x) > g(x),
loga f(x) > loga g(x) f(x) > 0,
g(x) > 0
f(x) > g(x),
або
g(x) > 0.
2. Якщо 0 < a <1, то нерівність loga f(x) > loga g(x) рівносильна подвійній нерівності 0 < f(x) < g(x).
Це твердження можна записати у вигляді:
f(x) < g(x),
loga f(x) > loga g(x) f(x) > 0,
g(x) > 0
f(x) < g(x),
або
f(x) > 0.
176
Нерівності
Зверніть увагу: при розв’язуванні логарифмічної нерівності немає сенсу окремо виписувати ОДЗ, оскільки все одно буде необхідно розв’язувати систему нерівностей, яка включає й ОДЗ.
Приклади
1) log1 (x+ 4) > log1 (x2 + 2x− 2).
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
Логарифмічна функція |
y = log1 t |
|
|
з |
|
основою 0 < |
< 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
спадна, отже, дана нерівність рівносильна системі |
||||||||||||||||||||||||||
x+ 4 |
< x2 + 2x− 2, |
x2 |
+ x− 6 > 0, |
|
|
|
x > 2, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x < −3, |
||||||||||
x+ 4 |
> 0; |
|
|
|
|
|
|
|
x > −4; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > −4. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 4 |
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Відповідь: −4 < x < −3; (або у вигляді (−4; −3) (2; +∞)). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x > 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) log32 x− 2log3 x− 8 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Нехай log3 x = y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y2 − 2y− 8 0, |
y1 = 4, y2 = −2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x > 0, |
x > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x 81, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
log3 x 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y −2; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
log3 x − 2; |
x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
81 |
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
0; |
1 |
[81; +∞) або 0 |
< x |
|
|
|||||||||||||||||||||
9 |
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 81. |
177
Алгебра та елементарні функції
3) logx (x2 +3x−3) >1.
Розглянемо два випадки.
x >1, |
|
|
|
|
|
|
|
x >1, |
|
|
|||||||
|
2 |
+3x−3 |
> x |
|
|
2 |
+2x−3 |
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
> 0 |
||||||||||
|
|
x >1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x >1, x > 1. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
< −3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
< |
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
< x <1, |
|
|
|||||
0 |
|
|
x |
|
1, |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
2 |
+3x−3 |
|
|
|
|
|
2 |
+2x−3 |
< 0, |
|||||||
x |
|
< x, x |
|
||||||||||||||
|
2 |
+3x−3 |
> 0; |
|
|
|
2 |
+3x−3 |
> 0; |
||||||||
x |
|
|
|
x |
|
||||||||||||
|
|
0 < x <1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
< x |
<1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x > |
|
21 −3 |
, |
|
|
21 −3 |
< x <1. |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
−3− |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Об’єднуючи ці проміжки, одержимо відповідь.
|
|
|
|
|
21 −3 |
|
|
|
(1; +∞). |
|||
Відповідь: |
|
; 1 |
|
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4) log |
|
|
|
(x2 −8x+23) > |
|
|
3 |
|
. |
|||
|
sinx |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
log2 |
sinx |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx 1;основою логарифма може бути тільки додатне число, яке не дорівнює 1. Виходячи з цього, отримуємо, що дана нерівність рівносильна системі:
log |
|
sinx |
(x2 |
−8x+23) >3log |
sinx |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x2 −8x+23 < 8, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 −8x+23 > 0, |
|
|
|
πk |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx ≠ 0, |
|
|
|
x ≠ |
|
, k Z; |
|
|||
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx ≠ ±1 |
|
|
|
|
|
|
|
178