|
|
|
|
|
|
|
Функції та графіки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обернена пропорційність |
|
|
|
|
|
|||
Функцію, задану формулою |
y = |
k |
, де х — незалеж- |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|||
на змінна, k ≠ 0 — дане число, називають о б е р н е н о ю |
||||||||
пр о п о рц ійніс т ю. |
|
k |
|
|
||||
Область визначення функції y = |
— множина всіх чи- |
|||||||
|
||||||||
сел, крім 0. |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
||||
Графік функції y = |
k |
(k ≠ 0) |
— гіпербола, симетрична |
|||||
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
||
відносно початку координат. Коли k > 0, вітки гіперболи розміщені в I і III координатних кутах, коли k < 0 — у II і IV.
Якприкладпобудуємографікфункції y = 12 .Заповнимо
таблицю (значення x задаємо, y — обчислюємоxза формулою
y = 12 ): x
x |
±1 |
±2 |
±3 |
±6 |
±12 |
±24 |
± |
1 |
|
||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
±12 |
±6 |
± 4 |
±2 |
±1 |
± |
1 |
|
±24 |
||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Нанесемо отримані точки на координатну площину. Сполучивши ці точки плавною лінією, отримаємо графік (див. рисунок).
Зверніть увагу на поводження графіка відносно осей координат. Графік до них нескінченно наближається, але не перетинає. Дійсно, x = 0 не входить до області
визначення, отже, -12 точки перетину з ві-
ссю Oy немає. xk ≠ 0
ні при якому значенні х, значить, якщо k ≠ 0, точки перетину з віссю Ox немає.
y
12
1 |
|
O 1 |
12 x |
-12
85
Алгебра та елементарні функції
Функція y=x2
Заповнимо таблицю (значення x задаємо, y — обчислюємо за формулою y = x2 ).
x |
0 |
±1 |
±2 |
±3 |
± 0,5 |
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
1 |
4 |
9 |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
Нанесемо знайдені точки на координатну площину. Сполучивши ці точки, отримаємо графік функції y = x2 (див. рисунок нижче).
Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел.
y(0) = 0. Графік проходить через початок координат
O(0; 0) .
y(x) 0 при всіх значеннях х. Усі точки графіка розташовані не нижче осі Оx.
Протилежним значенням аргументу відповідають ті самі значення функції, тобто графік симетричний відносно осі ординат.
y 
12
10
8
6
4
2
-2 O
2 x = y
2x
Функція y= x
Область визначення — множина всіх невід’ємних дійсних чисел.
86
Функції та графіки
Графік — одна вітка параболи, яка розташована в I координатному куті (див. рисунок).
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y= |
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
1 |
|
|
|
|
4 |
9 |
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Властивості функцій |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Функція називається |
зр о с таю ч о ю |
на де яко м у |
||||||||||||||||||||||||
пр о мі ж к у, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше значення функції.
Функція називається с па дн о ю на де яко м у пр о мі ж к у, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції.
Якщо функція зростає (спадає) на всій області визначення, її називають зростаючою (спадною).
Приклади
1. Лінійна функція y = kx+ b.
При |
k 0 функція зростаюча (рисунок зліва), при |
k < 0 — спадна (рисунок справа). |
|
y |
y |
Ox
O |
x |
Щоб краще це зрозуміти, візьміть x2 > x1 і простежте, які значення у відповідають x1 і x2 .
87
Алгебра та елементарні функції
2. |
Функція y = x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
При |
x [0; +∞) |
функція |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
зростаюча (див. рисунок). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
При |
x (−∞; 0] |
функція |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
спадна. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Обернена пропорційність |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y = |
k |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
1 |
|
|
|
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
k > 0, |
функція |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
спадна при |
x (−∞; 0) і при x (0; +∞) |
|
|
(рисунок зліва); |
||||||||||||||||||||||
якщо k < 0 |
— функція зростаюча при |
x (−∞; 0) |
і при |
|||||||||||||||||||||||
x (0; +∞) (рисунок справа). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
x |
O |
x |
Зверніть увагу, що не можна говорити про ці функції, що вони зростають або спадають на всій області визначення.
Дійсно, розглянемо функцію y = 8 .
x
Нехай x1 = −4, x2 =2; y(x1 ) = −2; y(x2 ) = 4.
Отже, x2 > x1 , а y2 > y1 , хоча за означенням спадної функції повинна виконуватись умова y2 < y1 .
Функція називається п а р н о ю, якщо:
1) область її визначення симетрична відносно 0, тобто x D(y) −x D(y);
2) f(−x) = f(x).
Протилежним значенням аргументу відповідають ті самі значення функції.
Графік парної функції є симетричним відносно осі y.
88
Функції та графіки
Приклади парних функцій
1.y = x2;
1)D(y) = (−∞; +∞) — симетрична відносно 0.
2)(−x)2 = x2. Функція парна.
2. |
y |
|
|
|
4 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1) |
D |
( |
y |
) |
= |
( |
−∞; −1 |
) |
|
( |
−1; 1 |
) |
( |
) — симетрична від- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1; +∞ |
|
||||||||
носно 0.
2) y(−x) = |
4 |
|
= |
|
4 |
|
= y(x). Функція парна. |
(−x)2 |
|
|
|
|
|||
|
−1 x2 |
−1 |
|||||
Функція називається |
|
н е пар н о ю, якщо: |
|||||
1)область її визначення симетрична відносно 0;
2)f(−x) = −f(x).
Протилежним значенням аргументу відповідають протилежні значення функції.
Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.
Приклади непарних функцій
1.y = 3x;
1)D(y) = (−∞; +∞) — симетрична відносно 0.
2)y(−x) =3 (−x) = −3x = −y(x). Функція непарна.
2. y = ( x3 ) .
x x2 −4
Щоб знайти D(y) , розв’яжемо рівняння
x(x2 −4) = 0.
x(x−2)(x+2) = 0; x1 = 0; x2 =2; x3 = −2.
Отже,в D(y) входятьусідійснічисла,крімчисел0;2;-2.
D(y) = (−∞; −2) (−2; 0) (0; 2) (2; +∞) — симетрична
відносно 0.
y(−x) = |
(−x)3 |
= |
−x3 |
= −y(x). Функція непарна. |
(−x)2 −4 |
x2 −4 |
Зверніть увагу: функція може бути ні парною, ні непарною.
89
Алгебра та елементарні функції
Приклади
|
f(x) = |
x4 −2x2 |
|
|
|
|
|
|
1) |
; |
- 4 0 |
4 x |
|||||
x2 −16 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
D(f) = (−∞; −4) (−4; 4) (4; +∞) — симетрична відносно нуля.
(На координатній прямій 0 позначено для того, щоб простежити, чи симетрична D(f) відносно 0.)
f |
( |
−x |
) |
= |
(−x)4 −2(−x)2 |
= |
|
x4 −2x2 |
. |
|
(−x)2 −16 |
|
|||||||||
|
|
|
x2 −16 |
|||||||
Функція парна. |
|
|
|
|
||||||
2) f(x) = |
|
5 |
|
; |
|
|||||
x( 3−x + x +3 ) |
|
|||||||||
x ≠ 0,3−x 0, 3+x 0;
x ≠ 0, |
|
|
|
|
|
0 3 x |
|
||
|
- 3 |
|
||
x 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −3. |
|
|
|
|
D(f) =[−3; 0) (0; 3] — симетрична відносно 0.
f(−x) = ( 5 ) =
(−x) 3−(−x) + (−x) +3
= ( 5 ) = −f(x).
−x 3+ x + 3−x
Функція непарна.
3)f(x) = x5 −2x3 +1.
D(f) = R — симетрична відносно 0. f(−x) = (−x)5 −2(−x)3 +1= −x5 +2x3 +1;
f(−x) ≠ f(x); f(−x) ≠ −f(x).
Функція не є ані парною, ані непарною.
4) f(x) = |
|
x −9 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x −15 |
|
|
|
|
||||
x−9 0, |
x 9, |
|
|
|
|||||
0 |
9 15 x |
||||||||
|
|
|
|
||||||
x ≠15; |
|
x |
≠15. |
|
|
|
|||
D(f) =[9; 15) (15; +∞) — несиметрична відносно нуля. Функція не є ані парною, ані непарною.
90